1. Compare as funções f(x)=2^x e g(x)=3^x. Qual cresce mais rápido?

Passo 1

O enunciado pede para comparar o crescimento das funções f(x)=2^x e g(x)=3^x. O conteúdo é análise de crescimento de funções exponenciais, e vamos usar dois argumentos clássicos: comparação das derivadas e análise do limite da razão das funções.

Passo 2

Vamos olhar as derivadas para ver qual cresce mais rápido em cada ponto.
A derivada de f é
f'(x)=2^xln(2)
e a derivada de g é
g'(x)=3^xln(3)
Como ln(3)>ln(2) e 3^x>2^x para todo x, temos
g'(x)=3^xln(3)>2^xln(2)=f'(x)
Isso mostra que, em cada ponto, g cresce mais rápido que f.

Passo 3

Outra forma é comparar diretamente a razão
g(x)f(x)=3^x2^x=gl(32gr)^x
Para x>0, l(tfrac32r)^x>1 e, à medida que xto+infty, l(tfrac32r)^xto+infty. Ou seja, g(x) vira infinitamente maior que f(x) quando x cresce.

Passo 4

Ambos os argumentos—derivada maior em cada ponto e razão que explode—convergem para a mesma conclusão: a exponencial de base maior cresce mais rápido.

Resposta

A função g(x)=3^x cresce mais rápido que f(x)=2^x.

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