- Compare as funções
e
. Qual cresce mais rápido?
Passo 1
O enunciado pede para comparar o crescimento das funções
e
. O conteúdo é análise de crescimento de funções exponenciais, e vamos usar dois argumentos clássicos: comparação das derivadas e análise do limite da razão das funções.
Passo 2
Vamos olhar as derivadas para ver qual cresce mais rápido em cada ponto.
A derivada de é
A derivada de
e a derivada de
é
Como
e
para todo
, temos
Isso mostra que, em cada ponto,
cresce mais rápido que
.
Passo 3
Outra forma é comparar diretamente a razão
Para
,
e, à medida que
,
. Ou seja,
vira infinitamente maior que
quando
cresce.
Passo 4
Ambos os argumentos—derivada maior em cada ponto e razão que explode—convergem para a mesma conclusão: a exponencial de base maior cresce mais rápido.
Resposta
A função
cresce mais rápido que
.