Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício onde temos que decidir se a série infinita
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como o teste da comparação e as séries p. Vamos entender passo a passo como chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Sabemos que, para valores pequenos de
,
é aproximadamente igual a
. Isso é uma aproximação útil quando
tende a zero.
Passo 3
Aplicando essa ideia, para
grande,
é bem pequeno. Então, podemos dizer que:
Passo 4
Agora, vamos comparar a nossa série original com a série
. Essa é uma série p, onde
.
Passo 5
Lembrando das séries p, sabemos que a série
converge se
. No nosso caso, como
, a série
converge.
Passo 6
Como
é aproximadamente
para
grande, e sabemos que
forma uma série convergente, podemos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos diz que se os termos da nossa série original são menores ou iguais aos termos de uma série convergente, então nossa série também converge.
Passo 7
Confirmando, temos:
Como a série
é convergente e nossos termos são menores ou iguais a ela, concluímos que a série original também converge.
Resposta
A série
converge.