Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
sumn=1^+infty sen(1 / n^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício onde temos que decidir se a série infinita sumn=1^+infty sin(1n^2) converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como o teste da comparação e as séries p. Vamos entender passo a passo como chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: sin(1n^2). Sabemos que, para valores pequenos de x, sin(x) é aproximadamente igual a x. Isso é uma aproximação útil quando x tende a zero.

Passo 3

Aplicando essa ideia, para n grande, 1n^2 é bem pequeno. Então, podemos dizer que:
sin(1n^2) approx 1n^2

Passo 4

Agora, vamos comparar a nossa série original com a série sumn=1^+infty 1n^2. Essa é uma série p, onde p = 2.

Passo 5

Lembrando das séries p, sabemos que a série sumn=1^+infty 1n^p converge se p > 1. No nosso caso, como p = 2 > 1, a série sumn=1^+infty 1n^2 converge.

Passo 6

Como sin(1n^2) é aproximadamente 1n^2 para n grande, e sabemos que 1n^2 forma uma série convergente, podemos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos diz que se os termos da nossa série original são menores ou iguais aos termos de uma série convergente, então nossa série também converge.

Passo 7

Confirmando, temos:
0 <= sin(1n^2) <= 1n^2
Como a série sumn=1^+infty 1n^2 é convergente e nossos termos são menores ou iguais a ela, concluímos que a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty sin(1n^2) converge.

Exercícios relacionados