Justifique suas respostas.
Calcule
integral d xx^2-x.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral dxx^2-x. Vamos trabalhar com cálculo integral, especificamente integrando funções racionais. Para resolver essa integral, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - x. Podemos fatorar colocando x em evidência:
x^2 - x = x(x - 1)

Passo 3

Agora que temos o denominador factorizado, podemos reescrever a fração original usando frações parciais. Queremos encontrar constantes A e B tais que:
1x(x - 1) = Ax + Bx - 1

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x(x - 1) para eliminar os denominadores:
1 = A(x - 1) + Bx

Passo 5

Para encontrar A e B, escolhemos valores de x que simplificam a equação:
  • Se x = 0:
1 = A(0 - 1) + B(0) implies 1 = -A implies A = -1
  • Se x = 1:
1 = A(1 - 1) + B(1) implies 1 = B implies B = 1

Passo 6

Agora, substituímos A e B na expressão de frações parciais:
1x(x - 1) = -1x + 1x - 1

Passo 7

Com as frações parciais, podemos integrar termo a termo:
integral dxx^2-x = integral ( -1x + 1x - 1 ) dx

Passo 8

Calculamos as integrais separadamente:
integral -1x , dx = -ln|x| + C1
integral 1x - 1 , dx = ln|x - 1| + C2
Onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 9

Somamos os resultados das integrais e combinamos as constantes:
- ln|x| + ln|x - 1| + C
Onde C = C1 + C2 é uma constante geral.

Resposta

A integral é igual a ln|x - 1x| + C, onde C é a constante de integração.

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