Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
sumn=1^+infty sen(1 / raizn)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente decidir se a série sumn=1^+infty sin(1raizn) converge ou diverge. Isso tá relacionado ao estudo de séries infinitas, onde a gente analisa se a soma de muitos termos vai chegar num valor finito (converge) ou não (diverge). Para resolver, a gente vai precisar entender alguns testes de convergência de séries e como aplicar essas ferramentas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: sin(1raizn). Sabemos que, para valores de x próximos de zero, sin(x) é aproximadamente igual a x. Isso significa que, quando n é grande, 1raizn é bem pequeno, então podemos simplificar sin(1raizn) approx 1raizn.

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa série com a série sumn=1^+infty 1raizn. Essa é uma série p, onde p = 12. Sabemos que uma série p converge se p > 1 e diverge se p <= 1. No nosso caso, p = 12 <= 1, então a série sumn=1^+infty 1raizn diverge.

Passo 4

Já que sin(1raizn) approx 1raizn para n grandes e a série comparativa sumn=1^+infty 1raizn diverge, podemos concluir que a série original sumn=1^+infty sin(1raizn) também diverge. Isso porque os termos da série original são comparáveis aos termos de uma série que já sabemos que não soma a um valor finito.

Resposta

A série sumn=1^+infty sin(1raizn) diverge.

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