Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente decidir se a série
converge ou diverge. Isso tá relacionado ao estudo de séries infinitas, onde a gente analisa se a soma de muitos termos vai chegar num valor finito (converge) ou não (diverge). Para resolver, a gente vai precisar entender alguns testes de convergência de séries e como aplicar essas ferramentas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Sabemos que, para valores de x próximos de zero,
é aproximadamente igual a x. Isso significa que, quando n é grande,
é bem pequeno, então podemos simplificar
.
Passo 3
Agora, vamos comparar a nossa série com a série
. Essa é uma série p, onde
. Sabemos que uma série p converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, então a série
diverge.
Passo 4
Já que
para n grandes e a série comparativa
diverge, podemos concluir que a série original
também diverge. Isso porque os termos da série original são comparáveis aos termos de uma série que já sabemos que não soma a um valor finito.
Resposta
A série
diverge.