Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
Passo 1
O enunciado pede para decidir a convergência da série
Isso envolve identificação de padrões em
, uso de identidade trigonométrica e reconhecimento de série geométrica (ou aplicação do teste da razão).
Passo 2
Aplicamos a identidade
Substituindo na fórmula do termo geral, obtemos
Passo 3
Logo a série original pode ser escrita como
Passo 4
O somatório
é uma série geométrica de razão
. Como
,
essa série geométrica converge.
essa série geométrica converge.
Passo 5
Como a série dada difere apenas por um fator constante
, ela também converge. Além disso,
converge absolutamente, logo a série dada converge absolutamente.
Resposta
A série é convergente (converge absolutamente).