Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
sumn=1^+infty (-1)^n+1 cos (n pi)pi^n

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
sumn=1^+infty(-1)^n+1cos(npi)pi^n
Isso envolve identificação de padrões em n, uso de identidade trigonométrica e reconhecimento de série geométrica (ou aplicação do teste da razão).

Passo 2

Aplicamos a identidade
cos(npi)=(-1)^n
Substituindo na fórmula do termo geral, obtemos
an = (-1)^n+1cos(npi)pi^n = (-1)^n+1cdot(-1)^npi^n = (-1)^2n+1pi^n = -1pi^n

Passo 3

Logo a série original pode ser escrita como
sumn=1^+inftyan = sumn=1^+inftygl(-1pi^ngr) = -sumn=1^+inftygl(1pigr)^!n

Passo 4

O somatório sumn=1^+infty(1/pi)^n é uma série geométrica de razão
r=1pi. Como lvert rrvert=1pi<1,
essa série geométrica converge.

Passo 5

Como a série dada difere apenas por um fator constante -1, ela também converge. Além disso, sum(1/pi)^n converge absolutamente, logo a série dada converge absolutamente.

Resposta

A série é convergente (converge absolutamente).

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