Compare os resultados obtidos com o método do trapézio e método de Simpson para as seguintes integrais:
Teste com diferentes números de ‘fatias’ para determinar quantas são necessárias para fornecer uma resposta aceitável.
\int_{2}^{4}\left(x^{2}+x+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{2}^{4}\bigl(x^{2}+x+1\bigr)\,dx
pelos métodos numéricos do trapézio e de Simpson, testando diferentes números de subintervalos (“fatias”) n para ver quantos são necessários para alcançar uma precisão aceitável.

Passo 2

Calcular a integral exata para ter referência dos erros.
\int_{2}^{4}(x^{2}+x+1)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}+\tfrac{x^{2}}{2}+x\Bigr]_{2}^{4} =\Bigl(\tfrac{64}{3}+8+4\Bigr)-\Bigl(\tfrac{8}{3}+2+2\Bigr) =\tfrac{80}{3}\approx26{,}6666667.

Passo 3

Aplicar o método do trapézio, cujo passo é h=(4-2)/n e a fórmula
I_{T}=\frac{h}{2}\Bigl(f(x_{0})+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_{i})+f(x_{n})\Bigr).
A seguir aproximamos e calculamos o erro |I_{T}-80/3| para n=2,4,8,16,32:
n =2: h=1, I_{T}=27{,}0000000, erro =0{,}3333333
n =4: h=0,5, I_{T}=26{,}7500000, erro =0{,}0833333
n =8: h=0,25, I_{T}=26{,}6875000, erro =0{,}0208333
n =16: h=0,125, I_{T}=26{,}6718750, erro =0{,}0052083
n =32: h\approx0,0625, I_{T}=26{,}6679688, erro \approx0{,}0013021
Observa-se que o erro decai com O(h^{2}).

Passo 4

Aplicar o método de Simpson, que exige n par, com
I_{S}=\frac{h}{3}\Bigl(f(x_{0})+4\sum_{\substack{i=1\i\text{ ímpar}}}^{n-1}f(x_{i}) +2\sum_{\substack{i=2\i\text{ par}}}^{n-2}f(x_{i})+f(x_{n})\Bigr).
Para n=2 (o mínimo par) já temos
I_{S}=\frac{1}{3}\bigl(7+4\cdot13+21\bigr)=\frac{80}{3}\approx26{,}6666667,
isto é, Simpson é exato para polinômios até grau 3, dando erro zero já em n=2.

Passo 5

Escolher como “resposta aceitável” um erro abaixo de 10^{-3}.
Pelo trapézio a condição de erro aproximada 1{,}3333/n^{2}<10^{-3} leva a n\gtrsim37, e testamos que em n=40 o erro é
|I_{T}-80/3|\approx0{,}00083<10^{-3}.
Pelo método de Simpson basta n=2, pois já atinge a exatidão.

Resposta

Pela régua de erro <10^{-3}:
Trapézio precisa de n=40 fatias.
Simpson precisa de n=2 fatias (erro nulo para este polinômio).

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