Nos próximos quatro exercícios, considere um circuito RLC série, com R=10 \Omega, C=1 \mu F e L=10 \mathrm{mH}, alimentado por 12 volts de amplitude e frequência 1000 Hz .
Responda:
(a) Quais as fases entre a corrente e a tensão no resistor? Idem para o capacitor e para o indutor?
(b) Qual a fase entre a tensão da fonte e a corrente do circuito?
(c) qual a frequência de ressonância desse circuito?

Passo 1

O enunciado trata de um circuito série RLC com
\;R = 10\:\Omega, \;C = 1\:\mu\text{F} e \;L = 10\:\text{mH},
alimentado por uma tensão senoidal de 12 V (amplitude) e frequência 1000 Hz.
Para resolver vamos usar análise em fasores, isto é, trabalhar com impedâncias:
Z_R = R,\quad Z_L = jX_L = j\,2\pi fL,\quad Z_C = -\,jX_C = -\,j\frac{1}{2\pi fC}.
A fase entre corrente e tensão em cada elemento vem do argumento da sua impedância.
A fase entre a tensão da fonte e a corrente do circuito sai do ângulo de
\;Z = Z_R + Z_L + Z_C = R + j\,(X_L - X_C).
Para a frequência de ressonância usamos
f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.

Passo 2

Fase entre corrente e tensão em cada elemento:
  • Resistor: \;Z_R = R é real, logo tensão e corrente estão em fase. \phi_R = 0^\circ.
  • Indutor: \;Z_L = jX_L tem argumento +90^\circ. Isso significa que a tensão no indutor está adiantada em 90^\circ em relação à corrente, ou seja, a corrente atrasa 90^\circ. \phi_L = -\,90^\circ\quad(\text{corrente lags}).
  • Capacitor: \;Z_C = -\,jX_C tem argumento -90^\circ. Isso significa que a tensão no capacitor está atrasada em 90^\circ em relação à corrente, ou seja, a corrente adianta 90^\circ. \phi_C = +\,90^\circ\quad(\text{corrente leads}).

Passo 3

Fase entre a tensão da fonte e a corrente do circuito:
  1. Calcular reatâncias em f=1000\:\text{Hz}: X_L = 2\pi fL = 2\pi\cdot1000\cdot0,01 = 62{,}8\:\Omega,
X_C = \frac{1}{2\pi fC} = \frac{1}{2\pi\cdot1000\cdot1\times10^{-6}} = 159{,}2\:\Omega.
  1. Impedância total: Z = R + j\,(X_L - X_C) = 10 + j\,(62{,}8 - 159{,}2) = 10 - j\,96{,}4\:\Omega.
  2. Ângulo de Z: \phi_Z = \arctan\!\bigl(\tfrac{X_L - X_C}{R}\bigr) = \arctan\!\bigl(\tfrac{-96{,}4}{10}\bigr) \approx -84{,}1^\circ.
Como a corrente é I = V/Z, ela fica adiantada em relação a V de |\phi_Z|.
Logo, a corrente adianta a tensão da fonte em cerca de 84{,}1^\circ.

Passo 4

Frequência de ressonância:
f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0,01\cdot1\times10^{-6}}} = \frac{1}{2\pi\cdot10^{-4}} \approx 1591{,}5\:\text{Hz}.

Resposta

(a) \phi_R = 0^\circ, \phi_C = +90^\circ, \phi_L = -90^\circ.
(b) A corrente adianta a tensão da fonte em cerca de 84{,}1^\circ.
(c) f_0 \approx 1591{,}5\:\text{Hz}.

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