(2.5 pontos) Resolva a Equação Diferencial
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
Note que não aparece
sem derivada, apenas
e
. Isso sugere a troca de variável
reduzindo a ordem da equação para uma equação de primeira ordem em
.
Passo 2
Substituindo
na equação original, obtemos
Essa equação é separável, pois podemos colocar todos os termos em
de um lado e
do outro.
Passo 3
Escrevemos
Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
Logo
Passo 4
Integramos cada termo:
Portanto
No lado direito,
Igualando,
onde
é constante.
Passo 5
Resolvendo para
, temos
Passo 6
Agora integramos
. Faça
, então
, daí
onde
é a segunda constante de integração.
Passo 7
Portanto, a solução geral da equação diferencial é
com
e
constantes arbitrárias (e domínio em que
).