(2.5 pontos) Resolva a Equação Diferencial x y^{\prime \prime}=y^{\prime}+\left(y^{\prime}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
x\,y'' = y' + \bigl(y'\bigr)^3
Note que não aparece y sem derivada, apenas y' e y''. Isso sugere a troca de variável
p(x) = y'(x),
reduzindo a ordem da equação para uma equação de primeira ordem em p.

Passo 2

Substituindo y'' = p'(x) = \dfrac{dp}{dx} na equação original, obtemos
x\,\frac{dp}{dx} = p + p^3.
Essa equação é separável, pois podemos colocar todos os termos em p de um lado e x do outro.

Passo 3

Escrevemos
\frac{dp}{p + p^3} = \frac{dx}{x}.
Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
\frac{1}{p(1+p^2)} = \frac{1}{p} - \frac{p}{1+p^2}.
Logo
\int \frac{dp}{p + p^3} = \int\!\Bigl(\frac{1}{p} - \frac{p}{1+p^2}\Bigr)\,dp.

Passo 4

Integramos cada termo:
\int\frac{1}{p}\,dp = \ln\bigl|p\bigr|, \qquad \int\frac{p}{1+p^2}\,dp = \frac12\ln\bigl(1+p^2\bigr).
Portanto
\int \frac{dp}{p + p^3} = \ln\bigl|p\bigr| - \tfrac12\ln\bigl(1+p^2\bigr) = \ln\!\Bigl(\frac{|p|}{\sqrt{1+p^2}}\Bigr).
No lado direito,
\int \frac{dx}{x} = \ln\bigl|x\bigr| + C_1.
Igualando,
\ln\!\Bigl(\frac{|p|}{\sqrt{1+p^2}}\Bigr) = \ln\bigl|x\bigr| + C_1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{p}{\sqrt{1+p^2}} = C\,x,
onde C = \pm e^{C_1} é constante.

Passo 5

Resolvendo para p, temos
\frac{p^2}{1+p^2} = C^2x^2 \quad\Longrightarrow\quad p^2\,(1 - C^2x^2) = C^2x^2 \quad\Longrightarrow\quad p = y' = \frac{C\,x}{\sqrt{1 - C^2x^2}}.

Passo 6

Agora integramos y' = \dfrac{C\,x}{\sqrt{1 - C^2x^2}}. Faça u = 1 - C^2x^2, então du = -2C^2x\,dx, daí
y = \int \frac{C\,x}{\sqrt{1 - C^2x^2}}\,dx = -\frac{1}{C}\,\sqrt{1 - C^2x^2} + D,
onde D é a segunda constante de integração.

Passo 7

Portanto, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = D - \frac{1}{C}\,\sqrt{\,1 - C^2x^2\,},
com C e D constantes arbitrárias (e domínio em que 1 - C^2x^2>0).

Resposta

\boxed{y(x) = D \;-\;\frac{1}{C}\,\sqrt{1 - C^2x^2},\quad C,D\in\mathbb{R}\text{ constantes.}}

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