Comparemos agora o que pode ocorrer com os números positivos maiores do que um número positivo dado,
, conforme este número esteja em
ou em
:
i). Mostre que, em
, toda sequência estritamente crescente de inteiros maiores do que
tem de crescer ao infinito
(este fato é intuitivamente óbvio, mas pede-se dar uma prova formal explorando que, se tivermos
, com todos esses
, entâo
).
ii). Mostre que, em
, é perfeitamente possivel construirmos sequências infinitas de números racionais estritamente crescentes, mas que não crescem ao infinito.
i). Mostre que, em
(este fato é intuitivamente óbvio, mas pede-se dar uma prova formal explorando que, se tivermos
ii). Mostre que, em
Passo 1
O enunciado pede duas coisas.
i) Em , provar que toda sequência estritamente crescente de inteiros com
i) Em
satisfaz
e, portanto, cresce sem limite.
ii) Em , exibir uma sequência infinita estritamente crescente que, apesar disso, permaneça limitada acima (ou seja, não cresça ao infinito).
ii) Em
Passo 2
Vamos provar por indução em
que, se
são inteiros, então
Base (
): temos
.
Passo indutivo: suponha . Como a sequência é estritamente crescente e os termos são inteiros, vale
Passo indutivo: suponha
Isso fecha a indução e mostra
para todo
.
Passo 3
Do resultado
segue que, dado qualquer
, basta escolher
para ter
. Logo a sequência não é limitada acima e “cresce ao infinito”.
Passo 4
Para
, basta construir um exemplo clássico de sequência estritamente crescente mas limitada. Definimos
que é claramente racional para todo
e satisfaz
.
Passo 5
Verificamos que
é estritamente crescente e limitada por
:
– Crescimento:
– Crescimento:
– Limite superior: para todo
,
.
Logo cresce estritamente mas não vai ao infinito.
Logo
Resposta
i) Em
, por indução obtemos
, logo a sequência tende a
.
ii) Em , a sequência
é estritamente crescente e permanece abaixo de
, portanto não cresce ao infinito.
ii) Em