Comparemos agora o que pode ocorrer com os números positivos maiores do que um número positivo dado, x0, conforme este número esteja em Z ou em Q :
i). Mostre que, em Z, toda sequência estritamente crescente de inteiros maiores do que x0 tem de crescer ao infinito
(este fato é intuitivamente óbvio, mas pede-se dar uma prova formal explorando que, se tivermos 1 <= x0<x1<x2<cdots, com todos esses xn in Z, entâo xn>n ).
ii). Mostre que, em Q, é perfeitamente possivel construirmos sequências infinitas de números racionais estritamente crescentes, mas que não crescem ao infinito.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas.
i) Em Z, provar que toda sequência estritamente crescente de inteiros com
1 <= x0 < x1 < x2 < cdots
satisfaz xn > n e, portanto, cresce sem limite.
ii) Em Q, exibir uma sequência infinita estritamente crescente que, apesar disso, permaneça limitada acima (ou seja, não cresça ao infinito).

Passo 2

Vamos provar por indução em n que, se 1 <= x0< x1<cdots< xn são inteiros, então
xn > n
Base ( n=0): temos x0>=1>0.
Passo indutivo: suponha xn>n. Como a sequência é estritamente crescente e os termos são inteiros, vale
xn+1>= xn+1 > n+1
Isso fecha a indução e mostra xn>n para todo n.

Passo 3

Do resultado xn>n segue que, dado qualquer M>0, basta escolher n>M para ter xn>n>M. Logo a sequência não é limitada acima e “cresce ao infinito”.

Passo 4

Para Q, basta construir um exemplo clássico de sequência estritamente crescente mas limitada. Definimos
xn = 1 - 1n+1,
que é claramente racional para todo n>=0 e satisfaz xn<1.

Passo 5

Verificamos que xn é estritamente crescente e limitada por 1:
– Crescimento:
xn+1-xn =l(1-1n+2r)-l(1-1n+1r) =1n+1-1n+2>0
– Limite superior: para todo n, xn=1-tfrac1n+1<1.
Logo xnsubsetQ cresce estritamente mas não vai ao infinito.

Resposta

i) Em Z, por indução obtemos xn>n, logo a sequência tende a +infty.
ii) Em Q, a sequência xn=1-tfrac1n+1 é estritamente crescente e permanece abaixo de 1, portanto não cresce ao infinito.

Exercícios relacionados