Transforme em coordenadas cartesianas a equação polar r=cos 2 theta

Passo 1

O enunciado pede para reescrever em coordenadas cartesianas a curva dada em coordenadas polares por
r = cos 2theta
O conteúdo é conversão entre sistemas polar e cartesiano. Vamos usar as relações
x = rcostheta, y = rsintheta, r = raizx^2 + y^2,
e a identidade trigonométrica
cos 2theta = cos^2theta - sin^2theta

Passo 2

Escrevemos cos2theta em função de x e y. Como
costheta = xr, sintheta = yr,
temos
cos2theta = cos^2theta - sin^2theta = x^2r^2 - y^2r^2 = x^2 - y^2r^2

Passo 3

Substituímos essa expressão em r = cos2theta:
r = x^2 - y^2r^2
Multiplicamos ambos os lados por r^2:
r^3 = x^2 - y^2

Passo 4

Finalmente, usamos r = raizx^2 + y^2 para expressar tudo em x e y:
l(raizx^2 + y^2r)^3 = x^2 - y^2 Longrightarrow (x^2 + y^2)^3/2 = x^2 - y^2

Resposta

A equação em coordenadas cartesianas é
(x^2 + y^2)^3/2 = x^2 - y^2

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