Verifique se a sequência n4^n+1 é convergente ou não

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
an = n4^,n+1
é convergente. Estamos no tema de sucessões numéricas e vamos usar o fato de que, para a>1, a parte exponencial a^n cresce muito mais rápido que qualquer termo polinomial em n. Uma forma sistemática é aplicar o teste da razão para sequências.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão, que diz que se
L = limntoinfty gl|an+1angr|
existe e satisfaz |L|<1, então anto0 e a sequência é convergente.

Passo 3

Calculemos a razão:
an+1an = n+14^,n+2n4^,n+1 = n+1n,4^,n+14^,n+2 = n+1n,14
Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinftyn+1n,14 = l(limntoinftyn+1nr),14 = 1cdot14 = 14

Passo 4

Como L = tfrac14 e tfrac14<1, o teste da razão garante que
limntoinftyan = 0
e, portanto, a sequência an=n4^,n+1 é convergente.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyn4^,n+1 = 0

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