(Competição de Matemática Harvery Mudd do Caltech inverno de 2017 - adaptada) Se w e z são números complexos tal que |w|=5,|z|=13 e(52 w-20 z)=3(4+7 i) com i=\sqrt{-1}. Sabendo que o valor de (z \times w)=a-b i, onde a e b são números inteiros primos entre si, então o valor de (a+b) vale:
a) 47
b) 56
c) 67
d) 79
e)89

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • |w|=5.
    • |z|=13.
    • 52w-20z=3(4+7i)=12+21i.
  • O enunciado afirma que z\times w=a-b i, com a e b inteiros primos entre si.
  • Pergunta: determinar a+b.

Passo 2

Primeira ideia prática: escrever w e z em forma de número complexo de módulo conhecido. Como |w|=5 e |z|=13, existe \varphi,\theta\in\mathbb{R} tais que
w=5e^{i\varphi},\qquad z=13e^{i\theta}.
Substituindo na equação linear:
52w-20z=52\cdot 5e^{i\varphi}-20\cdot 13e^{i\theta}=260\bigl(e^{i\varphi}-e^{i\theta}\bigr)=12+21i.
Logo definindo
u=e^{i\varphi},\qquad v=e^{i\theta},
temos a identidade simples
u-v=s,\qquad\text{onde}\qquad s=\frac{12+21i}{260}.

Passo 3

Queremos zw=13\cdot5\,uv=65\,uv. Então basta encontrar uv.
Para isso use uma observação elegante: se u e v satisfazem u-v=s e ambos têm módulo 1 (pois são e^{i\varphi} e e^{i\theta}), então a relação entre s e o produto q:=uv é obtida ao tomar o conjugado da diferença:
\overline{s}=\overline{u}-\overline{v}=\frac{1}{u}-\frac{1}{v}=\frac{v-u}{uv}=-\frac{u-v}{uv}=-\frac{s}{q}.
Dessa igualdade isolamos q:
q=-\frac{s}{\overline{s}}.
Portanto
uv=q=-\frac{s}{\overline{s}}.

Passo 4

Agora calculamos explicitamente s e q. Temos
s=\frac{12+21i}{260}.
Logo
q=-\frac{12+21i}{12-21i}.
Para simplificar basta multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador ou usar a identidade \dfrac{z}{\overline{z}}=\dfrac{z^2}{|z|^2}. Assim
q=-\frac{(12+21i)^2}{12^2+21^2}=-\frac{(-297+504i)}{585}=\frac{297-504i}{585}.
Podemos simplificar dividindo por 9:
q=\frac{33-56i}{65}.

Passo 5

Finalmente zw=65\cdot uv=65\cdot q. Então
zw=65\cdot\frac{33-56i}{65}=33-56i.
Portanto a=33 e b=56. São inteiros e \gcd(33,56)=1, como o enunciado pedia.

Resposta

89

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