(Competição de Matemática Harvery Mudd do Caltech inverno de 2017 - adaptada) Se w e z são números complexos tal que |w|=5,|z|=13 e(52 w-20 z)=3(4+7 i) com i=\sqrt{-1}. Sabendo que o valor de (z \times w)=a-b i, onde a e b são números inteiros primos entre si, então o valor de (a+b) vale:
a) 47
b) 56
c) 67
d) 79
e)89
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
|w|=5.
|z|=13.
52w-20z=3(4+7i)=12+21i.
O enunciado afirma que z\times w=a-b i, com a e b inteiros primos entre si.
Pergunta: determinar a+b.
Passo 2
Primeira ideia prática: escrever w e z em forma de número complexo de módulo conhecido. Como |w|=5 e |z|=13, existe \varphi,\theta\in\mathbb{R} tais que
Queremos zw=13\cdot5\,uv=65\,uv. Então basta encontrar uv.
Para isso use uma observação elegante: se u e v satisfazem u-v=s e ambos têm módulo 1 (pois são e^{i\varphi} e e^{i\theta}), então a relação entre s e o produto q:=uv é obtida ao tomar o conjugado da diferença:
Para simplificar basta multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador ou usar a identidade \dfrac{z}{\overline{z}}=\dfrac{z^2}{|z|^2}. Assim