(IIT - JEE - 1999) Considere a seguinte relação f_{n}(\theta)=\operatorname{tg}\left(\frac{\theta}{2}\right) \prod_{k=0}^{n}\left(1+\operatorname{sec} \left(2^{k} \theta\right)\right).
Marque a alternativa correta:
a) f_{2}\left(\frac{\pi}{16}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}
b) f_{3}\left(\frac{\pi}{96}\right)=2-\sqrt{3}
c) f_{4}\left(\frac{\pi}{664}\right)=-1
d) f_{5}\left(\frac{\pi}{12}\right)=\sqrt{3}
e) f_{6}\left(\frac{\pi}{512}\right)=\sqrt{2}+1

Passo 1

O enunciado define a função
f_{n}(\theta)=\operatorname{tg}\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\prod_{k=0}^{n}\left(1+\operatorname{sec}\!\left(2^{k}\theta\right)\right)
e pede que eu escolha a alternativa correta entre:
a) f_{2}\!\left(\frac{\pi}{16}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}
b) f_{3}\!\left(\frac{\pi}{96}\right)=2-\sqrt{3}
c) f_{4}\!\left(\frac{\pi}{664}\right)=-1
d) f_{5}\!\left(\frac{\pi}{12}\right)=\sqrt{3}
e) f_{6}\!\left(\frac{\pi}{512}\right)=\sqrt{2}+1
Informações relevantes dadas:
  • A definição de f_{n}(\theta) com um produto que envolve \operatorname{sec} e um fator \operatorname{tg}(\theta/2).
  • Para cada alternativa temos um par (n,\theta) e um valor candidato para f_n(\theta).
    O objetivo é identificar qual alternativa é verdadeira.

Passo 2

Primeiro vou manipular o fator dentro do produto usando identidades trigonométricas básicas. Uma identidade útil é a soma de cosseno:
1+\cos\varphi=2\cos^{2}\!\left(\frac{\varphi}{2}\right).
Como \operatorname{sec}\varphi=\dfrac{1}{\cos\varphi}, temos
1+\operatorname{sec}\varphi=\frac{1+\cos\varphi}{\cos\varphi}=\frac{2\cos^{2}\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{\cos\varphi}.
Isso é válido para qualquer \varphi onde \cos\varphi\neq0. Vou aplicar isso com \varphi=2^{k}\theta.

Passo 3

Substituindo \varphi=2^{k}\theta em cada fator do produto, obtemos
1+\operatorname{sec}\!\left(2^{k}\theta\right)=\frac{2\cos^{2}\!\left(2^{k-1}\theta\right)}{\cos\!\left(2^{k}\theta\right)}.
Então o produto fica
\prod_{k=0}^{n}\left(1+\operatorname{sec}\!\left(2^{k}\theta\right)\right) = \prod_{k=0}^{n}\frac{2\cos^{2}\!\left(2^{k-1}\theta\right)}{\cos\!\left(2^{k}\theta\right)}.
Note que aqui, para k=0, aparece \cos\!\left(2^{-1}\theta\right)=\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right).

Passo 4

Fatorando as constantes 2 e agrupando os cossenos:
\prod_{k=0}^{n}\left(1+\operatorname{sec}\!\left(2^{k}\theta\right)\right) =2^{\,n+1}\,\frac{\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\cos^{2}\!\left(2^{k-1}\theta\right)} {\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\cos\!\left(2^{k}\theta\right)}.
Reindexando o numerador (colocando j=k-1) obtemos que o numerador é
\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos^{2}\!(\theta)\cos^{2}\!(2\theta)\cdots\cos^{2}\!\left(2^{n-1}\theta\right)
e o denominador é
\cos(\theta)\cos(2\theta)\cdots\cos\!\left(2^{n}\theta\right).
Cancelando fatores semelhantes (cada \cos(2^{j}\theta) no denominador cancela uma potência no numerador), sobra
\prod_{k=0}^{n}\left(1+\operatorname{sec}\!\left(2^{k}\theta\right)\right) =2^{\,n+1}\,\frac{\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\prod_{j=0}^{n-1}\cos\!\left(2^{j}\theta\right)}{\cos\!\left(2^{n}\theta\right)}.

Passo 5

Agora multiplico por \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right). Lembre que
\operatorname{tg}\!\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right)}.
Então
\operatorname{tg}\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right) =\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right) =\frac{1}{2}\sin\theta.
Usando isso no produto anterior obtemos
f_{n}(\theta) = \operatorname{tg}\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\prod_{k=0}^{n}\left(1+\operatorname{sec}\!\left(2^{k}\theta\right)\right) =2^{n}\,\frac{\sin\theta\displaystyle\prod_{j=0}^{n-1}\cos\!\left(2^{j}\theta\right)}{\cos\!\left(2^{n}\theta\right)}.

Passo 6

Reconhecemos a identidade padrão para seno com duplicações sucessivas:
\sin\!\left(2^{n}\theta\right)=2^{n}\sin\theta\prod_{j=0}^{n-1}\cos\!\left(2^{j}\theta\right).
(Isso vem aplicando repetidamente \sin(2x)=2\sin x\cos x; dá para formalizar por indução, ver passo seguinte.)
Substituindo essa identidade na expressão de f_{n}(\theta) resulta
f_{n}(\theta)=\frac{\sin\!\left(2^{n}\theta\right)}{\cos\!\left(2^{n}\theta\right)} =\operatorname{tg}\!\left(2^{n}\theta\right).
Portanto encontramos uma forma muito simples e útil:
\boxed{\,f_{n}(\theta)=\operatorname{tg}\!\left(2^{n}\theta\right)\,}

Passo 7

Breve justificativa da identidade usada: por indução em n.
  • Caso base n=1: \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta é verdadeira.
  • Passo indutivo: suponha \sin(2^{n}\theta)=2^{n}\sin\theta\prod_{j=0}^{n-1}\cos(2^{j}\theta). Então
\sin(2^{n+1}\theta)=2\sin(2^{n}\theta)\cos(2^{n}\theta) =2\left[2^{n}\sin\theta\prod_{j=0}^{n-1}\cos(2^{j}\theta)\right]\cos(2^{n}\theta) =2^{n+1}\sin\theta\prod_{j=0}^{n}\cos(2^{j}\theta),
logo vale para n+1. Assim a identidade é provada.

Passo 8

Agora aplico a fórmula f_{n}(\theta)=\operatorname{tg}\!\left(2^{n}\theta\right) às alternativas e verifico qual é verdadeira.
a) Para n=2,\\ \theta=\dfrac{\pi}{16}:
2^{2}\theta=4\cdot\frac{\pi}{16}=\frac{\pi}{4},\qquad f_{2}\!\left(\frac{\pi}{16}\right)=\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1.
Alternativa (a) afirma \dfrac{\sqrt{3}}{3}; como 1\neq\dfrac{\sqrt{3}}{3}, (a) é falsa.
b) Para n=3,\\ \theta=\dfrac{\pi}{96}:
2^{3}\theta=8\cdot\frac{\pi}{96}=\frac{\pi}{12},\qquad f_{3}\!\left(\frac{\pi}{96}\right)=\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{12}\right).
Recordando uma identidade conhecida para \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\operatorname{tg}(15^\circ):
\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{12}\right)=2-\sqrt{3}.
Portanto (b) é verdadeira.
c) Para n=4,\\ \theta=\dfrac{\pi}{664}:
2^{4}\theta=16\cdot\frac{\pi}{664}=\frac{16\pi}{664}=\frac{2\pi}{83},
logo
f_{4}\!\left(\frac{\pi}{664}\right)=\operatorname{tg}\!\left(\frac{2\pi}{83}\right),
que não é -1 (já que \operatorname{tg}(\varphi)=-1 apenas se \varphi\equiv -\frac{\pi}{4}\pmod{\pi}, o que não é o caso). Então (c) é falsa.
d) Para n=5,\\ \theta=\dfrac{\pi}{12}:
2^{5}\theta=32\cdot\frac{\pi}{12}=\frac{32\pi}{12}=\frac{8\pi}{3}.
Como \operatorname{tg} tem período \pi, \operatorname{tg}\!\left(\frac{8\pi}{3}\right)=\operatorname{tg}\!\left(\frac{8\pi}{3}-2\pi\right)=\operatorname{tg}\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}.
A alternativa (d) diz \sqrt{3}, portanto (d) é falsa.
e) Para n=6,\\ \theta=\dfrac{\pi}{512}:
2^{6}\theta=64\cdot\frac{\pi}{512}=\frac{\pi}{8}, \qquad f_{6}\!\left(\frac{\pi}{512}\right)=\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{8}\right).
Conhece-se \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\sqrt{2}-1 (aproximadamente 0,4142), enquanto a alternativa (e) afirma \sqrt{2}+1 (aproximadamente 2,4142). Logo (e) é falsa.
Somente a alternativa (b) é verdadeira.

Resposta

(b)

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