(IIT - JEE - 1999) Considere a seguinte relação
.
Marque a alternativa correta:
a)
b)
c)
d)
e)
Marque a alternativa correta:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado define a função
e pede que eu escolha a alternativa correta entre:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Informações relevantes dadas:
- A definição de
com um produto que envolve e um fator . - Para cada alternativa temos um par
e um valor candidato para .
O objetivo é identificar qual alternativa é verdadeira.
Passo 2
Primeiro vou manipular o fator dentro do produto usando identidades trigonométricas básicas. Uma identidade útil é a soma de cosseno:
Como
, temos
Isso é válido para qualquer
onde
. Vou aplicar isso com
.
Passo 3
Substituindo
em cada fator do produto, obtemos
Então o produto fica
Note que aqui, para
, aparece
.
Passo 4
Fatorando as constantes
e agrupando os cossenos:
Reindexando o numerador (colocando
) obtemos que o numerador é
e o denominador é
.
Cancelando fatores semelhantes (cada no denominador cancela uma potência no numerador), sobra
e o denominador é
Cancelando fatores semelhantes (cada
Passo 5
Agora multiplico por
. Lembre que
Então
Usando isso no produto anterior obtemos
Passo 6
Reconhecemos a identidade padrão para seno com duplicações sucessivas:
(Isso vem aplicando repetidamente
; dá para formalizar por indução, ver passo seguinte.)
Substituindo essa identidade na expressão de
resulta
Portanto encontramos uma forma muito simples e útil:
Passo 7
Breve justificativa da identidade usada: por indução em
.
- Caso base
: é verdadeira. - Passo indutivo: suponha
. Então
logo vale para
. Assim a identidade é provada.
Passo 8
Agora aplico a fórmula
às alternativas e verifico qual é verdadeira.
a) Para
:
Alternativa (a) afirma
; como
, (a) é falsa.
b) Para
:
Recordando uma identidade conhecida para
:
Portanto (b) é verdadeira.
c) Para
:
logo
que não é
(já que
apenas se
, o que não é o caso). Então (c) é falsa.
d) Para
:
Como
tem período
,
.
A alternativa (d) diz , portanto (d) é falsa.
A alternativa (d) diz
e) Para
:
Conhece-se
(aproximadamente
), enquanto a alternativa (e) afirma
(aproximadamente
). Logo (e) é falsa.
Somente a alternativa (b) é verdadeira.
Resposta
(b)