(Carnegie Mellon Informatics and Mathematics - CMIMC - 2014 - modificada) Para
pertencente ao conjunto dos reais que satisfaz a relação
para todo
. Sabendo que o valor da expressão
pode ser escrito da forma
com m e n números inteiros positivos primos entre si, então o valor de
é igual a:
a) 56
b) 75
c) 87
d) 93
e) 137
a) 56
b) 75
c) 87
d) 93
e) 137
Passo 1
O enunciado nos diz que existem reais
tais que, para todo
,
O que se pede é o valor da expressão
que pode ser reconhecida como
. Devemos apresentar esse valor na forma
e calcular
.
Passo 2
Para organizar, vamos definir uma função racional que sintetize as somas dadas. Defina
Assim, as condições do enunciado dizem que, para
,
O valor que queremos é
, pois
Passo 3
Vamos transformar o problema para uma forma em que possamos explorar raízes e grau de polinômios. Considere a função
Observe que, para
com
, temos
logo
tem as cinco raízes
.
Passo 4
Note a forma racional de
. Escrevendo com denominador comum,
onde
é algum polinômio de grau no máximo
(pois
é soma de cinco termos simples). Então
O numerador é um polinômio, que chamaremos de
:
Esse
tem grau no máximo
e, pelas observações anteriores, tem as raízes
. Portanto existe uma constante
tal que
Passo 5
Agora vamos determinar a constante
. Uma maneira prática é avaliar em um
que torne o denominador simples;
é conveniente. Pela definição de
,
Pela fórmula com
,
Como
, obtemos
Por outro lado, usando a forma fatorada,
Passo 6
Calcule o produto presente:
Repare que
, logo o produto dos quadrados é
. Então
Portanto
Como
, temos
Passo 7
Agora temos explicitamente
Queremos
. Lembre que
e também
Observe que
. Logo
Passo 8
Calcule
. Primeiro o produto
Multiplicando:
Como havia cinco sinais negativos, o produto é
. Assim
Passo 9
Substituindo em
, com
,
Portanto a expressão pedida vale
. Assim
e
, e
Resposta
137