(Carnegie Mellon Informatics and Mathematics - CMIMC - 2014 - modificada) Para a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} e a_{5} pertencente ao conjunto dos reais que satisfaz a relação \frac{a_{1}}{k^{2}+1}+\frac{a_{2}}{k^{2}+2}+\frac{a_{3}}{k^{2}+3}+\frac{a_{4}}{k^{2}+4}+\frac{a_{5}}{k^{2}+5}=\frac{1}{k^{2}} para todo k=\{2,3,4,5,6\}. Sabendo que o valor da expressão \left(\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{3}+\frac{a_{3}}{4}+\frac{a_{4}}{5}+\frac{a_{5}}{6}\right) pode ser escrito da forma (m / n) com m e n números inteiros positivos primos entre si, então o valor de (m+n) é igual a:
a) 56
b) 75
c) 87
d) 93
e) 137

Passo 1

O enunciado nos diz que existem reais a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5} tais que, para todo k\in\{2,3,4,5,6\},
\frac{a_{1}}{k^{2}+1}+\frac{a_{2}}{k^{2}+2}+\frac{a_{3}}{k^{2}+3}+\frac{a_{4}}{k^{2}+4}+\frac{a_{5}}{k^{2}+5}=\frac{1}{k^{2}}.
O que se pede é o valor da expressão
\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{3}+\frac{a_{3}}{4}+\frac{a_{4}}{5}+\frac{a_{5}}{6},
que pode ser reconhecida como \displaystyle\sum_{j=1}^{5}\frac{a_{j}}{1+j}. Devemos apresentar esse valor na forma \dfrac{m}{n} e calcular m+n.

Passo 2

Para organizar, vamos definir uma função racional que sintetize as somas dadas. Defina
S(x)=\sum_{j=1}^{5}\frac{a_{j}}{x+j}.
Assim, as condições do enunciado dizem que, para k=2,3,4,5,6,
S(k^{2})=\frac{1}{k^{2}}.
O valor que queremos é S(1), pois
S(1)=\sum_{j=1}^{5}\frac{a_{j}}{1+j}=\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{3}+\frac{a_{3}}{4}+\frac{a_{4}}{5}+\frac{a_{5}}{6}.

Passo 3

Vamos transformar o problema para uma forma em que possamos explorar raízes e grau de polinômios. Considere a função
f(x)=x\,S(x)-1.
Observe que, para x=k^{2} com k=2,3,4,5,6, temos
f(k^{2})=k^{2}S(k^{2})-1=k^{2}\cdot\frac{1}{k^{2}}-1=0,
logo f(x) tem as cinco raízes x=4,9,16,25,36.

Passo 4

Note a forma racional de f(x). Escrevendo com denominador comum,
S(x)=\frac{P(x)}{\prod_{j=1}^{5}(x+j)},
onde P(x) é algum polinômio de grau no máximo 4 (pois S(x) é soma de cinco termos simples). Então
f(x)=xS(x)-1=\frac{xP(x)-\prod_{j=1}^{5}(x+j)}{\prod_{j=1}^{5}(x+j)}.
O numerador é um polinômio, que chamaremos de R(x):
R(x)=xP(x)-\prod_{j=1}^{5}(x+j).
Esse R(x) tem grau no máximo 5 e, pelas observações anteriores, tem as raízes 4,9,16,25,36. Portanto existe uma constante C tal que
R(x)=C\prod_{k=2}^{6}\bigl(x-k^{2}\bigr).

Passo 5

Agora vamos determinar a constante C. Uma maneira prática é avaliar em um x que torne o denominador simples; x=0 é conveniente. Pela definição de f,
f(0)=0\cdot S(0)-1=-1.
Pela fórmula com R(x),
f(0)=\frac{R(0)}{\prod_{j=1}^{5}(0+j)}=\frac{R(0)}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}=\frac{R(0)}{5!}.
Como f(0)=-1, obtemos
R(0)=-5!.
Por outro lado, usando a forma fatorada,
R(0)=C\prod_{k=2}^{6}(0-k^{2})=C(-4)(-9)(-16)(-25)(-36).

Passo 6

Calcule o produto presente:
(-4)(-9)(-16)(-25)(-36)=(-1)^{5}\cdot(4\cdot9\cdot16\cdot25\cdot36)=-\bigl(2^{2}\cdot3^{2}\cdot4^{2}\cdot5^{2}\cdot6^{2}\bigr).
Repare que 2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6=720, logo o produto dos quadrados é 720^{2}=518400. Então
(-4)(-9)(-16)(-25)(-36)=-518400.
Portanto
R(0)=C\cdot(-518400)=-5!.
Como 5!=120, temos
-518400\,C=-120 \quad\Rightarrow\quad C=\frac{120}{518400}=\frac{1}{4320}.

Passo 7

Agora temos explicitamente
R(x)=\frac{1}{4320}\prod_{k=2}^{6}\bigl(x-k^{2}\bigr).
Queremos S(1). Lembre que f(1)=1\cdot S(1)-1=S(1)-1 e também
f(1)=\frac{R(1)}{\prod_{j=1}^{5}(1+j)}.
Observe que \prod_{j=1}^{5}(1+j)=2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6=720=6!. Logo
S(1)=1+\frac{R(1)}{6!}.

Passo 8

Calcule R(1). Primeiro o produto
\prod_{k=2}^{6}(1-k^{2})=(1-4)(1-9)(1-16)(1-25)(1-36)=(-3)(-8)(-15)(-24)(-35).
Multiplicando:
3\cdot8=24,\quad 24\cdot15=360,\quad 360\cdot24=8640,\quad 8640\cdot35=302400.
Como havia cinco sinais negativos, o produto é -302400. Assim
R(1)=\frac{1}{4320}\cdot(-302400)=-\frac{302400}{4320}=-70.

Passo 9

Substituindo em S(1)=1+\dfrac{R(1)}{6!}, com 6!=720,
S(1)=1+\frac{-70}{720}=1-\frac{70}{720}=1-\frac{7}{72}=\frac{72-7}{72}=\frac{65}{72}.
Portanto a expressão pedida vale \dfrac{65}{72}. Assim m=65 e n=72, e
m+n=65+72=137.

Resposta

137

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