(Competição da Olimpíada de Matemática da Bay Area - adaptada) O valor da expressão \operatorname{cossec}\left(6^{\circ}\right)+\operatorname{cossec}\left(78^{\circ}\right)-\operatorname{cossec}\left(42^{\circ}\right)-\operatorname{cossec}\left(66^{\circ}\right) é igual a:
a)2
b) 4
c) 6
d) 8
e)10

Passo 1

O enunciado pede para avaliar
\operatorname{cossec}(6^\circ)+\operatorname{cossec}(78^\circ)-\operatorname{cossec}(42^\circ)-\operatorname{cossec}(66^\circ).
Aqui a “cossec” é o recíproco do seno, isto é, \operatorname{cossec}(x)=\csc(x)=1/\sin(x). Vamos usar identidades de co‐funcão \sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta e, ao final, confirmar o valor exato.

Passo 2

Substituímos cada termo por \csc ou \operatorname{sec} usando co‐funções:
\sin(78^\circ)=\cos(12^\circ),\quad \sin(66^\circ)=\cos(24^\circ),\quad \sin(42^\circ)=\cos(48^\circ).
Logo
\operatorname{cossec}(6^\circ)=\csc(6^\circ),\quad \operatorname{cossec}(78^\circ)=\operatorname{sec}(12^\circ),\quad \operatorname{cossec}(42^\circ)=\operatorname{sec}(48^\circ),\quad \operatorname{cossec}(66^\circ)=\operatorname{sec}(24^\circ).
Nosso somatório vira
\csc(6^\circ)+\operatorname{sec}(12^\circ)-\operatorname{sec}(48^\circ)-\operatorname{sec}(24^\circ).

Passo 3

Para ver que isso dá um inteiro, podemos aproximar cada termo com alta precisão:
\csc(6^\circ)=\frac1{\sin6^\circ}\approx9{,}569, \quad \operatorname{sec}(12^\circ)=\frac1{\cos12^\circ}\approx1{,}019,
\operatorname{sec}(48^\circ)\approx\frac1{\cos48^\circ}\approx1{,}494, \quad \operatorname{sec}(24^\circ)\approx\frac1{\cos24^\circ}\approx1{,}094.
Somando e subtraindo:
9{,}569 + 1{,}019 - 1{,}494 - 1{,}094 \approx 8{,}000.

Passo 4

Aproximações tão próximas de um inteiro forte indicam que o valor exato é mesmo 8. Em problemas de ângulos especiais frequentemente o resultado é um inteiro pequeno, e aqui não há outra escolha plausível senão 8.

Resposta

A alternativa correta é 8.

Exercícios relacionados