(Competição da Olimpíada de Matemática da Bay Area - adaptada) O valor da expressão
é igual a:
a)2
b) 4
c) 6
d) 8
e)10
a)2
b) 4
c) 6
d) 8
e)10
Passo 1
O enunciado pede para avaliar
Aqui a “cossec” é o recíproco do seno, isto é,
. Vamos usar identidades de co‐funcão
e, ao final, confirmar o valor exato.
Passo 2
Substituímos cada termo por
ou
usando co‐funções:
Logo
Nosso somatório vira
Passo 3
Para ver que isso dá um inteiro, podemos aproximar cada termo com alta precisão:
Somando e subtraindo:
Passo 4
Aproximações tão próximas de um inteiro forte indicam que o valor exato é mesmo
. Em problemas de ângulos especiais frequentemente o resultado é um inteiro pequeno, e aqui não há outra escolha plausível senão
.
Resposta
A alternativa correta é 8.