(IIT JEE - Índia) O número de soluções reais da equação 2^{x}+\log _{2} x+x=22 é igual a:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) infinito

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções reais da equação
2^x + \log_2 x + x = 22.
O conteúdo que vamos usar envolve estudo de domínio (pela presença de \log_2 x), análise de sinais pela troca de sinal (Teorema do Valor Intermediário) e monotonicidade usando derivada.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = 2^x + \log_2 x + x - 22,
com domínio x>0 (pois \log_2 x só está definido para x>0).

Passo 3

Estudamos os limites da função nas extremidades do domínio:
  • Quando x\to0^+, tem-se 2^x\to1, x\to0 e \log_2 x\to -\infty. Logo
f(x)\to -\infty.
  • Quando x\to+\infty, o termo 2^x domina e vai a +\infty. Logo
f(x)\to +\infty.
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz de f(x)=0 em (0,\infty).

Passo 4

Calculamos a derivada para verificar monotonicidade:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(2^x\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(\log_2 x\bigr) + \frac{d}{dx}(x) = (\ln 2)\,2^x + \frac{1}{x\ln 2} + 1.
Cada parcela é positiva para todo x>0, pois (\ln2)\,2^x>0, \tfrac{1}{x\ln2}>0 e 1>0. Logo f'(x)>0 em (0,\infty), o que implica que f é estritamente crescente. Assim, só pode haver uma única raiz.

Resposta

(B)

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