(IIT JEE - Índia) O número de soluções reais da equação
é igual a:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) infinito
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) infinito
Passo 1
O enunciado pede o número de soluções reais da equação
O conteúdo que vamos usar envolve estudo de domínio (pela presença de
), análise de sinais pela troca de sinal (Teorema do Valor Intermediário) e monotonicidade usando derivada.
Passo 2
Definimos a função
com domínio
(pois
só está definido para
).
Passo 3
Estudamos os limites da função nas extremidades do domínio:
- Quando
, tem-se , e . Logo
- Quando
, o termo domina e vai a . Logo
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz de
em
.
Passo 4
Calculamos a derivada para verificar monotonicidade:
Cada parcela é positiva para todo
, pois
,
e
. Logo
em
, o que implica que
é estritamente crescente. Assim, só pode haver uma única raiz.
Resposta
(B)