6́) Seja T : \wp_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \wp_{2}(\mathbb{R}) o operador linear definido por T(p(t))=p(t)-p(1). Sabendo que B=\left\{1, t-1,(t-1)^{2}\right\} e C=\left\{1, t, t^{2}\right\} são bases de \wp_{2}(\mathbb{R}) encontre [T]_{C}^{B} e [T]_{B}^{C}

Passo 1

O enunciado define o operador linear T\colon \wp_{2}(\mathbb{R})\to \wp_{2}(\mathbb{R}) por
T\bigl(p(t)\bigr)=p(t)-p(1)
e pede as matrizes de T quando o Espaço de Partida e Chegada usam as bases \displaystyle B=\{\,1,\;t-1,\;(t-1)^2\} e \displaystyle C=\{\,1,\;t,\;t^2\}.
Vamos primeiro calcular [T]_{C}^{B} (colunas dadas pelas imagens dos vetores de C expressas em B) e depois [T]_{B}^{C}.

Passo 2

Para [T]_{C}^{B} aplicamos T aos vetores de C:
  1. p(t)=1. Então p(1)=1 e
T(1)=1-1=0.
Em coordenadas na base B isso é \bigl[0,0,0\bigr]^T.
  1. p(t)=t. Então p(1)=1 e
T(t)=t-1.
Como t-1 é exatamente o segundo vetor de B, suas coordenadas em B são \bigl[0,1,0\bigr]^T.
  1. p(t)=t^2. Então p(1)=1 e
T(t^2)=t^2-1.
Queremos \displaystyle t^2-1 = a\cdot1 + b\,(t-1) + c\,(t-1)^2.
Expandindo o lado direito:
a + b(t-1) + c(t^2-2t+1) = c\,t^2 + (b-2c)\,t + (a - b + c).
Igualando a t^2 + 0\,t -1 obtemos
c=1,\quad b-2c=0\Rightarrow b=2,\quad a - b + c=-1\Rightarrow a=0.
Logo as coordenadas são \bigl[0,2,1\bigr]^T.
Montando a matriz cujas colunas são esses vetores, temos
[T]_{C}^{B} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para [T]_{B}^{C} aplicamos T aos vetores de B e expressamos em C:
  1. p(t)=1. Então T(1)=0, coordenadas em C são \bigl[0,0,0\bigr]^T.
  2. p(t)=t-1. Então p(1)=0 e
T(t-1)=(t-1)-0 = t-1 = -1\cdot1 + 1\cdot t + 0\cdot t^2,
logo \bigl[-1,1,0\bigr]^T.
  1. p(t)=(t-1)^2=t^2-2t+1. Então p(1)=0 e
T\bigl((t-1)^2\bigr)=t^2-2t+1 = 1\cdot1 + (-2)\,t + 1\,t^2,
logo \bigl[1,-2,1\bigr]^T.
Assim
[T]_{B}^{C} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

[T]_{C}^{B} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad [T]_{B}^{C} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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