4^{\underline{\mathrm{a}}} ) Seja U=\mathbb{R}^{3}, V=\mathbb{R}^{2}, B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} e C=\{(1,0),(0,1)\} bases de U e V, respectivamente. Encontre a transformação T \in L(U, V) tal que [T]_{C}^{B}=\left(\begin{array}{ccc}10 & 5 & -3 \\\\ 2 & -1 & 4\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado define U=\mathbb{R}^{3} com base canônica B=\{e_{1}=(1,0,0),\,e_{2}=(0,1,0),\,e_{3}=(0,0,1)\} e V=\mathbb{R}^{2} com base canônica C=\{f_{1}=(1,0),\,f_{2}=(0,1)\}. Pede-se a transformação linear T\colon U\to V cuja matriz em relação a B e C é
Vamos usar a interpretação de que a j-ésima coluna desta matriz são as coordenadas de T(e_{j}) na base C.
Passo 2
Identificamos as colunas:
- A primeira coluna \bigl(10,2\bigr)^{T} representa T(e_{1}).
- A segunda coluna \bigl(5,-1\bigr)^{T} representa T(e_{2}).
- A terceira coluna \bigl(-3,4\bigr)^{T} representa T(e_{3}).