4^{\underline{\mathrm{a}}} ) Seja U=\mathbb{R}^{3}, V=\mathbb{R}^{2}, B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} e C=\{(1,0),(0,1)\} bases de U e V, respectivamente. Encontre a transformação T \in L(U, V) tal que [T]_{C}^{B}=\left(\begin{array}{ccc}10 & 5 & -3 \\\\ 2 & -1 & 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado define U=\mathbb{R}^{3} com base canônica B=\{e_{1}=(1,0,0),\,e_{2}=(0,1,0),\,e_{3}=(0,0,1)\} e V=\mathbb{R}^{2} com base canônica C=\{f_{1}=(1,0),\,f_{2}=(0,1)\}. Pede-se a transformação linear T\colon U\to V cuja matriz em relação a B e C é
[T]_{C}^{B} = \begin{pmatrix} 10 & 5 & -3\\\\ 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}.
Vamos usar a interpretação de que a j-ésima coluna desta matriz são as coordenadas de T(e_{j}) na base C.

Passo 2

Identificamos as colunas:
- A primeira coluna \bigl(10,2\bigr)^{T} representa T(e_{1}).
- A segunda coluna \bigl(5,-1\bigr)^{T} representa T(e_{2}).
- A terceira coluna \bigl(-3,4\bigr)^{T} representa T(e_{3}).

Passo 3

Logo, pelos dados acima, temos
T(e_{1}) = (10,\,2),\quad T(e_{2}) = (5,\,-1),\quad T(e_{3}) = (-3,\,4).

Passo 4

Seja um vetor genérico v=(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}. Escrevendo v=x\,e_{1}+y\,e_{2}+z\,e_{3} e usando linearidade,
T(v) = x\,T(e_{1}) + y\,T(e_{2}) + z\,T(e_{3}) = x\,(10,2) + y\,(5,-1) + z\,(-3,4).
Somando coordenada a coordenada, obtemos
T(x,y,z) = \bigl(10x + 5y - 3z,\;2x - y + 4z\bigr).

Resposta

A transformação T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} buscada é
T(x,y,z) = \bigl(10x + 5y - 3z,\;2x - y + 4z\bigr).

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