(Competição da Olimpíada de Matemática) Os números, em ordem, de cada linha e os números, em ordem, de cada coluna de uma 5 \times 5 matriz de inteiros formam uma progressão aritmética de comprimento. 5 . Os números nas posições (5,5),(2,4),(4,3){ }_{\mathrm{e}}(3,1)_{\text {são }} 0,48,16, e, 12 , respectivamente. Qual número está na posição (1,2) ?
O enunciado dá uma matriz 5\times5 de inteiros tal que, em cada linha fixa i,
os elementos \bigl(A_{i1},A_{i2},A_{i3},A_{i4},A_{i5}\bigr) formam uma progressão aritmética de razão d_i,
e em cada coluna fixa j,
os elementos \bigl(A_{1j},A_{2j},A_{3j},A_{4j},A_{5j}\bigr) formam uma progressão aritmética de razão e_j.
Nos dão ainda
e pedem A_{1,2}.
O conteúdo é a representação geral de uma função sobre \{1,\dots,5\}^2 cujas linhas e colunas são todas PA, e como resolver o sistema que surge.
Passo 2
Uma função A_{i,j} cujas linhas e colunas são PA de razão possivelmente diferente pode ser escrita na forma bilinear
com constantes \alpha,\beta,\gamma,\delta.
De fato, para i fixo, A_{i,j+1}-A_{i,j} = \gamma + \delta\,i é constante (razão da linha i),
e para j fixo, A_{i+1,j}-A_{i,j} = \beta + \delta\,j é constante (razão da coluna j).
Passo 3
Substituindo as quatro condições dadas obtemos o sistema
Substituindo \gamma nas duas últimas e eliminando \beta, achamos \delta=-5, \beta=5, \gamma=22, e então de volta em \alpha+3\beta+\gamma+3\delta=12 vem \alpha=-10.