(Competição da Olimpíada de Matemática) Os números, em ordem, de cada linha e os números, em ordem, de cada coluna de uma 5 \times 5 matriz de inteiros formam uma progressão aritmética de comprimento. 5 . Os números nas posições (5,5),(2,4),(4,3){ }_{\mathrm{e}}(3,1)_{\text {são }} 0,48,16ã, e, 12 , respectivamente. Qual número está na posição (1,2) ?
\left[\begin{array}{ccccc} . & ? & . & . & . \\\ . & . & . & 48 & . \\\\ 12 & . & . & . & . \\\ . & . & 16 & . & . \\\ . & . & . & . & 0 \end{array}\right]
a)19
b) 24
c) 29
d) 34
e)39

Passo 1

O enunciado dá uma matriz 5\times5 de inteiros tal que, em cada linha fixa i,
os elementos \bigl(A_{i1},A_{i2},A_{i3},A_{i4},A_{i5}\bigr) formam uma progressão aritmética de razão d_i,
e em cada coluna fixa j,
os elementos \bigl(A_{1j},A_{2j},A_{3j},A_{4j},A_{5j}\bigr) formam uma progressão aritmética de razão e_j.
Nos dão ainda
A_{5,5}=0,\quad A_{2,4}=48,\quad A_{4,3}=16,\quad A_{3,1}=12
e pedem A_{1,2}.
O conteúdo é a representação geral de uma função sobre \{1,\dots,5\}^2 cujas linhas e colunas são todas PA, e como resolver o sistema que surge.

Passo 2

Uma função A_{i,j} cujas linhas e colunas são PA de razão possivelmente diferente pode ser escrita na forma bilinear
A_{i,j} = \alpha + \beta\,i + \gamma\,j + \delta\,i\,j
com constantes \alpha,\beta,\gamma,\delta.
De fato, para i fixo, A_{i,j+1}-A_{i,j} = \gamma + \delta\,i é constante (razão da linha i),
e para j fixo, A_{i+1,j}-A_{i,j} = \beta + \delta\,j é constante (razão da coluna j).

Passo 3

Substituindo as quatro condições dadas obtemos o sistema
\begin{cases} A_{3,1}= \alpha + 3\beta + 1\gamma + 3\cdot1\,\delta =12,\\\ A_{4,3}= \alpha + 4\beta + 3\gamma + 4\cdot3\,\delta =16,\\\ A_{2,4}= \alpha + 2\beta + 4\gamma + 2\cdot4\,\delta =48,\\\ A_{5,5}= \alpha + 5\beta + 5\gamma + 5\cdot5\,\delta =0. \end{cases}

Passo 4

Escrevendo as equações de forma reduzida:
\begin{aligned} \alpha +3\beta +\gamma +3\delta &=12,\\\ \alpha +4\beta +3\gamma +12\delta &=16,\\\ \alpha +2\beta +4\gamma +8\delta &=48,\\\ \alpha +5\beta +5\gamma +25\delta &=0. \end{aligned}
Subtraindo a primeira de cada uma das outras para eliminar \alpha, chegamos a
\begin{cases} \beta +2\gamma +9\delta =4,\\\\ -2\beta +\gamma -4\delta =32,\\\\ 3\beta +\gamma +17\delta =-48. \end{cases}

Passo 5

Dessa forma resolvemos
\begin{aligned} -2\beta +\gamma -4\delta &=32 \quad\Rightarrow\quad \gamma=32+2\beta+4\delta,\\\ \beta +2\gamma +9\delta &=4,\\\\ 3\beta +\gamma +17\delta &=-48. \end{aligned}
Substituindo \gamma nas duas últimas e eliminando \beta, achamos \delta=-5, \beta=5, \gamma=22, e então de volta em \alpha+3\beta+\gamma+3\delta=12 vem \alpha=-10.

Passo 6

Finalmente,
A_{1,2} \;=\;\alpha + \beta\cdot1 + \gamma\cdot2 + \delta\cdot(1\cdot2) \;=\;-10 +5 +44 -10 =29.

Resposta

29

Exercícios relacionados