(torneio de Matemática de Berkeley - modificada) Se a_{n} e b_{n} são números inteiros definido pela equação a_{n}+b_{n} \sqrt{5}=(1+\sqrt{5})^{n} para n \geq 1. O valor de a_{6} é igual a:
a)576
b) 126
c) 256
d)322
e)610

Passo 1

O enunciado define duas sequências inteiras (a_n) e (b_n) de modo que
a_n + b_n\sqrt{5} = (1+\sqrt{5})^n.
Queremos encontrar a_6. Como (1+\sqrt{5})^n expande em soma de termos com (\sqrt{5})^k, basta pegar os termos de k par na expansão binomial para obter a parte “real” a_n.

Passo 2

Usamos o teorema binomial em
(1+\sqrt{5})^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} \,1^{6-k} \,(\sqrt{5})^k.
Na soma acima, os termos com k ímpar vêm multiplicados por \sqrt{5} e correspondem a b_6\sqrt{5}. Já os termos com k par são inteiros e somam a_6.

Passo 3

Listamos os termos com k par:
\begin{aligned} k=0: &\;\binom{6}{0}5^0 = 1,\\\ k=2: &\;\binom{6}{2}5^1 = 15\cdot5 = 75,\\\ k=4: &\;\binom{6}{4}5^2 = 15\cdot25 = 375,\\\ k=6: &\;\binom{6}{6}5^3 = 1\cdot125 = 125. \end{aligned}

Passo 4

Somando essas contribuições obtemos
a_6 = 1 + 75 + 375 + 125 = 576.

Resposta

576

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