(Competição de Olimpíada de Matemática da Romênia - adaptada) O valor mínimo da expressão f(x)=\left(\sqrt{x^{2}-8 x+64}+\sqrt{x^{2}-6 \sqrt{3} x+36}\right) é igual a:
a)10
b) 12
c) 8
d) 15
e)6

Passo 1

O enunciado pede o valor mínimo da função
f(x)=\sqrt{x^{2}-8 x+64}+\sqrt{x^{2}-6\sqrt{3}\,x+36}.
Observamos que cada termo é da forma distância de um ponto variável A=(x,0) no eixo x a um ponto fixo no plano. Vamos usar geometria (método da reflexão) para achar o mínimo de soma de distâncias.

Passo 2

Fazendo quadrados completos dentro das raízes, temos
x^{2}-8x+64=(x-4)^{2}+(4\sqrt{3})^{2},
x^{2}-6\sqrt{3}\,x+36=(x-3\sqrt{3})^{2}+3^{2}.
Definimos
P_{1}=(4,4\sqrt{3}),\quad P_{2}=(3\sqrt{3},3),\quad A=(x,0).
Então
f(x)=AP_{1}+AP_{2}.

Passo 3

Para minimizar AP_{1}+AP_{2} com A variando sobre o eixo x, refletimos P_{1} no eixo x obtendo
P_{1}'=(4,-4\sqrt{3}).
Agora AP_{1}+AP_{2}=AP_{1}'+AP_{2} é a distância percorrida por um ponto A na reta entre P_{1}' e P_{2}. O mínimo ocorre quando A fica no segmento de reta P_{1}'P_{2}, e esse mínimo vale a distância direta P_{1}'P_{2}.

Passo 4

Calculamos a distância
P_{1}'P_{2}=\sqrt{\bigl(4-3\sqrt{3}\bigr)^{2}+\bigl(-4\sqrt{3}-3\bigr)^{2}}.
Temos
(4-3\sqrt{3})^{2}=43-24\sqrt{3},\quad (4\sqrt{3}+3)^{2}=57+24\sqrt{3},
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P_{1}'P_{2}=\sqrt{(43-24\sqrt{3})+(57+24\sqrt{3})}=\sqrt{100}=10.

Resposta

10

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