Encontre as coordenadas do polinômio p(t)=7-12 t-8 t^{2}+12 t^{3} na base de \mathbb{P}^{3} formada pelos polinômios de Hermite (ver exercício 8).

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio
p(t)=7-12t-8t^{2}+12t^{3}
como combinação linear dos polinômios de Hermite \{H_{0},H_{1},H_{2},H_{3}\} em \mathbb{P}^{3}.

Passo 2

Recordando os polinômios de Hermite padrão:
H_{0}(t)=1,\quad H_{1}(t)=2t,\quad H_{2}(t)=4t^{2}-2,\quad H_{3}(t)=8t^{3}-12t.

Passo 3

Vamos supor
p(t)=a\,H_{0}(t)+b\,H_{1}(t)+c\,H_{2}(t)+d\,H_{3}(t).
Substituindo cada H_{k} obtemos
p(t)=a + b\,(2t)+c\,(4t^{2}-2)+d\,(8t^{3}-12t).
Agrupando em potências de t:
p(t)=(a-2c) + (2b-12d)\,t + (4c)\,t^{2} + (8d)\,t^{3}.

Passo 4

Comparando com p(t)=7-12t-8t^{2}+12t^{3}, do termo t^{3} temos
8d = 12 \quad\Longrightarrow\quad d=\tfrac{12}{8}=\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Do termo t^{2}:
4c = -8 \quad\Longrightarrow\quad c=-2.

Passo 6

Do termo t:
2b -12d = -12 \quad\Longrightarrow\quad 2b -12\cdot\tfrac{3}{2}=-12 \quad\Longrightarrow\quad 2b=6 \quad\Longrightarrow\quad b=3.

Passo 7

Do termo constante:
a -2c = 7 \quad\Longrightarrow\quad a -2\cdot(-2)=7 \quad\Longrightarrow\quad a+4=7 \quad\Longrightarrow\quad a=3.

Resposta

As coordenadas de p(t) na base \{H_{0},H_{1},H_{2},H_{3}\} são
\bigl(a,b,c,d\bigr)=(3,\,3,\,-2,\,\tfrac{3}{2}).

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