(IIT JEE - Índia) Considere a elipse de equação
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{25}=1
e o ponto P=(8,0). Duas retas r e s passam por P, tangenciam a elipse nos pontos A e B, respectivamente. Sendo assim, a área do triângulo A P B é igual a:
A) 40
B) 15 \sqrt{3}
C) 20 \sqrt{3}
D) 25 \sqrt{3}
E) 30

Passo 1

O enunciado dá a elipse
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{25}=1
e o ponto P=(8,0). Precisamos traçar as duas tangentes à elipse que passam por P, achar os pontos de tangência A e B e, por fim, calcular a área do triângulo APB. O conteúdo principal é geometria analítica de cônicas e cálculo de área de triângulo.

Passo 2

Vamos usar a parametrização da elipse e a forma padrão da reta tangente. Uma parametrização é
x=4\cos t,\quad y=5\sin t.
A reta tangente nesse ponto satisfaz
\frac{x\cos t}{4}+\frac{y\sin t}{5}=1.
Como a reta passa por P=(8,0), substituímos (x,y)=(8,0) e obtemos
\frac{8\cos t}{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad 2\cos t=1 \quad\Longrightarrow\quad \cos t=\tfrac12.

Passo 3

Da condição \cos t=\tfrac12 segue
t=\pm\frac{\pi}{3}.
Isso gera dois pontos de tangência:
A=\Bigl(4\cos\tfrac{\pi}{3},\,5\sin\tfrac{\pi}{3}\Bigr) =\Bigl(2,\,\tfrac{5\sqrt{3}}{2}\Bigr),
B=\Bigl(4\cos(-\tfrac{\pi}{3}),\,5\sin(-\tfrac{\pi}{3})\Bigr) =\Bigl(2,\,-\tfrac{5\sqrt{3}}{2}\Bigr).

Passo 4

O segmento AB é vertical, de comprimento
\bigl|y_A-y_B\bigr| = \frac{5\sqrt{3}}{2}-\Bigl(-\frac{5\sqrt{3}}{2}\Bigr) =5\sqrt{3}.
A distância horizontal de P=(8,0) até a reta que contém AB (que é x=2) é
|8-2|=6.
Logo, a área do triângulo APB é
\frac{1}{2}\times(\text{base}=5\sqrt{3})\times(\text{altura}=6) =15\sqrt{3}.

Resposta

15\sqrt{3} (alternativa B)

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