e o ponto P=(8,0). Duas retas r e s passam por P, tangenciam a elipse nos pontos A e B, respectivamente. Sendo assim, a área do triângulo A P B é igual a:
A) 40
B) 15 \sqrt{3}
C) 20 \sqrt{3}
D) 25 \sqrt{3}
E) 30
Passo 1
O enunciado dá a elipse
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{25}=1
e o ponto P=(8,0). Precisamos traçar as duas tangentes à elipse que passam por P, achar os pontos de tangência A e B e, por fim, calcular a área do triângulo APB. O conteúdo principal é geometria analítica de cônicas e cálculo de área de triângulo.
Passo 2
Vamos usar a parametrização da elipse e a forma padrão da reta tangente. Uma parametrização é
x=4\cos t,\quad y=5\sin t.
A reta tangente nesse ponto satisfaz
\frac{x\cos t}{4}+\frac{y\sin t}{5}=1.
Como a reta passa por P=(8,0), substituímos (x,y)=(8,0) e obtemos