(Torneio de Matemática dos Estados Unidos da América - 2024 - adaptada) Seja n o menor valor possível da expressão \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}-2 x+6 y+19}+\sqrt{x^{2}+y^{2}+8 x-4 y+21}\right). Então o valor de ( n^{2} ) é igual a:
a) 37
b) 40
c) 53
d)66
e)71

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Nos dão a expressão a ser minimizada:
\sqrt{x^{2}+y^{2}-2x+6y+19}+\sqrt{x^{2}+y^{2}+8x-4y+21}.
  • Pergunta: seja n o menor valor possível dessa expressão; qual é o valor de n^{2}? (Escolhas: 37,40,53,66,71.)

Passo 2

Primeiro passo técnico: completar quadrados nos radicandos para entender a geometria por trás da expressão.
  • Para o primeiro radicando:
x^{2}+y^{2}-2x+6y+19=(x-1)^{2}+(y+3)^{2}+9.
Explicação rápida: (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1 e (y+3)^{2}=y^{2}+6y+9; somando dá x^{2}+y^{2}-2x+6y+10, falta +9 para obter +19.
  • Para o segundo radicando:
x^{2}+y^{2}+8x-4y+21=(x+4)^{2}+(y-2)^{2}+1.
Explicação: (x+4)^{2}=x^{2}+8x+16 e (y-2)^{2}=y^{2}-4y+4; somando dá x^{2}+y^{2}+8x-4y+20, falta +1 para obter +21.

Passo 3

Interpretar como distâncias em \mathbb{R}^{3}. Seja o ponto variável
P=(x,y,0)
no plano z=0. Defina os pontos fixos
A=(1,-3,3)\qquad\text{e}\qquad B=(-4,2,1).
Então, pela forma completada,
\sqrt{x^{2}+y^{2}-2x+6y+19}=\sqrt{(x-1)^{2}+(y+3)^{2}+(0-3)^{2}}=\operatorname{dist}(P,A),
\sqrt{x^{2}+y^{2}+8x-4y+21}=\sqrt{(x+4)^{2}+(y-2)^{2}+(0-1)^{2}}=\operatorname{dist}(P,B).
Logo a expressão a minimizar é
\operatorname{dist}(P,A)+\operatorname{dist}(P,B).

Passo 4

Usar o truque da reflexão: refletir A em relação ao plano z=0. A reflexão de A=(1,-3,3) no plano z=0 é
A'=(1,-3,-3).
Observação chave: para qualquer P com z=0 vale \operatorname{dist}(P,A)=\operatorname{dist}(P,A'), porque as componentes z têm mesmo módulo. Portanto
\operatorname{dist}(P,A)+\operatorname{dist}(P,B)=\operatorname{dist}(P,A')+\operatorname{dist}(P,B).
Pelo triângulo em \mathbb{R}^{3} temos, para todo P no plano,
\operatorname{dist}(A',B)\le \operatorname{dist}(A',P)+\operatorname{dist}(P,B)=\operatorname{dist}(P,A)+\operatorname{dist}(P,B).
A desigualdade é igualdade exatamente quando P está sobre o segmento reto que liga A' a B. Assim o mínimo do lado direito é atingido e vale \operatorname{dist}(A',B).

Passo 5

Calcular a distância entre A'=(1,-3,-3) e B=(-4,2,1):
  • Diferença de coordenadas:
B-A' = (-4-1,\;2-(-3),\;1-(-3)) = (-5,5,4).
  • Norma ao quadrado:
(-5)^{2}+5^{2}+4^{2}=25+25+16=66.
  • Distância:
\operatorname{dist}(A',B)=\sqrt{66}.
Portanto o menor valor possível da expressão é n=\sqrt{66}.

Passo 6

Pedem n^{2}. Como n=\sqrt{66} segue que
n^{2}=66.

Resposta

\,66

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