(Torneio de Matemática dos Estados Unidos da América - 2024 - adaptada) Seja n o menor valor possível da expressão
. Então o valor de (
) é igual a:
a) 37
b) 40
c) 53
d)66
e)71
a) 37
b) 40
c) 53
d)66
e)71
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Nos dão a expressão a ser minimizada:
- Pergunta: seja
o menor valor possível dessa expressão; qual é o valor de ? (Escolhas: .)
Passo 2
Primeiro passo técnico: completar quadrados nos radicandos para entender a geometria por trás da expressão.
- Para o primeiro radicando:
Explicação rápida:
e
; somando dá
, falta
para obter
.
- Para o segundo radicando:
Explicação:
e
; somando dá
, falta
para obter
.
Passo 3
Interpretar como distâncias em
. Seja o ponto variável
no plano
. Defina os pontos fixos
Então, pela forma completada,
Logo a expressão a minimizar é
Passo 4
Usar o truque da reflexão: refletir
em relação ao plano
. A reflexão de
no plano
é
Observação chave: para qualquer
com
vale
, porque as componentes
têm mesmo módulo. Portanto
Pelo triângulo em
temos, para todo
no plano,
A desigualdade é igualdade exatamente quando
está sobre o segmento reto que liga
a
. Assim o mínimo do lado direito é atingido e vale
.
Passo 5
Calcular a distância entre
e
:
- Diferença de coordenadas:
- Norma ao quadrado:
- Distância:
Portanto o menor valor possível da expressão é
.
Passo 6
Pedem
. Como
segue que