(Competição Olimplada Regional da Bósnia e Herzegovina de 2017) Se ABC é um triângulo isósceles tal que
. Encontre os ângulos do triângulo ABC se
.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo isósceles
com
e a condição
O que se pede: encontrar os ângulos do triângulo
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
(logo os ângulos na base são iguais). - Denotar os ângulos por
, . - Relação entre lados dada:
. - Relação entre os ângulos:
(soma dos ângulos de um triângulo).
Passo 2
Vou relacionar a razão de lados com os ângulos usando a Lei dos Senos. A Lei dos Senos diz que, para qualquer triângulo,
Como
temos
, e com
e
obtemos
Como
e
, segue
Usando a identidade
(explico:
, que vem da fórmula aditiva para seno), e assumindo
(ângulos não nulos), simplificamos:
Passo 3
Pela condição do enunciado,
Isolando
,
Um cálculo numérico rápido (só para intuição) mostra
, o que corresponde a
, ou seja
. Isso sugere a solução exata
e
. Agora vou provar que essa escolha é de fato exata, mostrando que
Passo 4
Mostro a igualdade anterior transformando-a em uma identidade conhecida. Multiplicando ambos os lados por
obtemos a equivalência
Usando a fórmula produto-para-soma
na segunda parcela:
Portanto o lado direito torna-se
Logo a igualdade desejada é equivalente à identidade
A seguir provarei essa identidade (é uma identidade clássica envolvendo ângulos
).
Passo 5
Prova da identidade
.
Defina
. Então
e
, logo
é raiz do polinômio
(esse é o quociente
). Dividindo por
obtemos
Agora use
. Coloque
. Então
que são identidades fáceis (vêm do desenvolvimento de
e
). Substituindo na igualdade dividida por
achamos:
Agrupando termos:
Portanto
satisfaz o polinômio cúbico
. As raízes desse polinômio são precisamente
pois são as três quantidades
para
. Pela fórmula de Viète, a soma das raízes é o coeficiente de
com sinal trocado, ou seja
Dividindo por
obtemos
que é exatamente a identidade desejada. Isso fecha a demonstração de que
satisfaz a igualdade do Passo 4, logo
é a solução exata.
Passo 6
Concluímos os ângulos do triângulo:
Em graus:
e
.