(Competição Olimplada Regional da Bósnia e Herzegovina de 2017) Se ABC é um triângulo isósceles tal que \mathrm{AB}=\mathrm{AC}. Encontre os ângulos do triângulo ABC se \frac{A B}{B C}=1+2 \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right).

Passo 1

O enunciado dá um triângulo isósceles ABC com \mathrm{AB}=\mathrm{AC} e a condição
\frac{AB}{BC}=1+2\cos\!\left(\frac{2\pi}{7}\right).
O que se pede: encontrar os ângulos do triângulo ABC.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • AB=AC (logo os ângulos na base são iguais).
  • Denotar os ângulos por \angle A=\alpha, \angle B=\angle C=\beta.
  • Relação entre lados dada: \dfrac{AB}{BC}=1+2\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{7}\right).
  • Relação entre os ângulos: \alpha+2\beta=\pi (soma dos ângulos de um triângulo).

Passo 2

Vou relacionar a razão de lados com os ângulos usando a Lei dos Senos. A Lei dos Senos diz que, para qualquer triângulo,
\frac{AB}{\sin\angle C}=\frac{BC}{\sin\angle A}=\frac{AC}{\sin\angle B}.
Como AB=AC temos \sin\angle C=\sin\angle B, e com \angle B=\angle C=\beta e \angle A=\alpha obtemos
\frac{AB}{BC}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}.
Como \alpha=\pi-2\beta e \sin(\pi-2\beta)=\sin(2\beta), segue
\frac{AB}{BC}=\frac{\sin\beta}{\sin(2\beta)}.
Usando a identidade \sin(2\beta)=2\sin\beta\cos\beta (explico: \sin(2x)=2\sin x\cos x, que vem da fórmula aditiva para seno), e assumindo \sin\beta\neq0 (ângulos não nulos), simplificamos:
\frac{AB}{BC}=\frac{\sin\beta}{2\sin\beta\cos\beta}=\frac{1}{2\cos\beta}.

Passo 3

Pela condição do enunciado,
\frac{1}{2\cos\beta}=1+2\cos\!\left(\frac{2\pi}{7}\right).
Isolando \cos\beta,
\cos\beta=\frac{1}{2\bigl(1+2\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{7}\right)\bigr)}.
Um cálculo numérico rápido (só para intuição) mostra \cos\beta\approx0,22252, o que corresponde a \beta\approx 77{,}1429^\circ, ou seja \beta\approx \tfrac{3\pi}{7}. Isso sugere a solução exata \beta=\tfrac{3\pi}{7} e \alpha=\pi-2\beta=\tfrac{\pi}{7}. Agora vou provar que essa escolha é de fato exata, mostrando que
\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{7}\right)=\frac{1}{2\bigl(1+2\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{7}\right)\bigr)}.

Passo 4

Mostro a igualdade anterior transformando-a em uma identidade conhecida. Multiplicando ambos os lados por 2\bigl(1+2\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{7}\right)\bigr) obtemos a equivalência
1=2\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{7}\right)+4\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{7}\right)\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{7}\right).
Usando a fórmula produto-para-soma \cos x\cos y=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(x+y)+\cos(x-y)\bigr) na segunda parcela:
4\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{7}\right)\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{7}\right) =2\bigl(\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{7}\right)+\cos\!\left(\tfrac{\pi}{7}\right)\bigr).
Portanto o lado direito torna-se
2\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{7}\right)+2\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{7}\right)+2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{7}\right) =2\bigl(\cos\!\left(\tfrac{\pi}{7}\right)+\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{7}\right)+\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{7}\right)\bigr).
Logo a igualdade desejada é equivalente à identidade
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{7}\right)+\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{7}\right)+\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{7}\right)=\frac{1}{2}.
A seguir provarei essa identidade (é uma identidade clássica envolvendo ângulos \pi/7).

Passo 5

Prova da identidade \cos\!\left(\tfrac{\pi}{7}\right)+\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{7}\right)+\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{7}\right)=\tfrac12.
Defina z=e^{i\pi/7}. Então z^7=-1 e z\neq -1, logo z é raiz do polinômio
z^6-z^5+z^4-z^3+z^2-z+1=0
(esse é o quociente \dfrac{z^7+1}{z+1}). Dividindo por z^3 obtemos
\bigl(z^3+z^{-3}\bigr)-\bigl(z^2+z^{-2}\bigr)+\bigl(z+z^{-1}\bigr)-1=0.
Agora use z^k+z^{-k}=2\cos\!\left(\tfrac{k\pi}{7}\right). Coloque t=2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{7}\right)=z+z^{-1}. Então
z^2+z^{-2}=t^2-2,\qquad z^3+z^{-3}=t^3-3t,
que são identidades fáceis (vêm do desenvolvimento de (z+z^{-1})^2 e (z+z^{-1})^3). Substituindo na igualdade dividida por z^3 achamos:
(t^3-3t)-(t^2-2)+t-1=0.
Agrupando termos:
t^3-t^2-2t+1=0.
Portanto t satisfaz o polinômio cúbico t^3-t^2-2t+1=0. As raízes desse polinômio são precisamente
t_1=2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{7}\right),\quad t_2=2\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{7}\right),\quad t_3=2\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{7}\right),
pois são as três quantidades 2\cos\!\bigl(\tfrac{(2k+1)\pi}{7}\bigr) para k=0,1,2. Pela fórmula de Viète, a soma das raízes é o coeficiente de t^2 com sinal trocado, ou seja
t_1+t_2+t_3=1.
Dividindo por 2 obtemos
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{7}\right)+\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{7}\right)+\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{7}\right)=\frac{1}{2},
que é exatamente a identidade desejada. Isso fecha a demonstração de que \cos\!\left(\tfrac{3\pi}{7}\right) satisfaz a igualdade do Passo 4, logo \beta=\tfrac{3\pi}{7} é a solução exata.

Passo 6

Concluímos os ângulos do triângulo:
\beta=\angle B=\angle C=\frac{3\pi}{7},\qquad \alpha=\angle A=\pi-2\beta=\frac{\pi}{7}.
Em graus: \angle A=\dfrac{180^\circ}{7}\approx25{,}714^\circ e \angle B=\angle C=\dfrac{540^\circ}{7}\approx77{,}143^\circ.

Resposta

\displaystyle \angle A=\frac{\pi}{7}
\displaystyle \angle B=\angle C=\frac{3\pi}{7}

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