(IIT - JEE - 1999) Considere a seguinte relação f_{n}(\theta)=\operatorname{tg}\left(\frac{\theta}{2}\right) \prod_{k=0}^{n}\left(1+\operatorname{sec} \left(2^{k} \theta\right)\right). Marque a alternativa correta:
a) f_{2}\left(\frac{\pi}{16}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}
b) f_{3}\left(\frac{\pi}{96}\right)=2-\sqrt{3}
c) f_{4}\left(\frac{\pi}{664}\right)=-1
d) f_{5}\left(\frac{\pi}{12}\right)=\sqrt{3}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dá-se a família de funções
f_{n}(\theta)=\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\prod_{k=0}^{n}\!\left(1+\operatorname{sec}\!\left(2^{k}\theta\right)\right).
  • Pede-se escolher a alternativa correta entre:
    (a) f_{2}\!\left(\frac{\pi}{16}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}
    (b) f_{3}\!\left(\frac{\pi}{96}\right)=2-\sqrt{3}
    (c) f_{4}\!\left(\frac{\pi}{664}\right)=-1
    (d) f_{5}\!\left(\frac{\pi}{12}\right)=\sqrt{3}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A definição de f_n(\theta) envolve \tan, \operatorname{sec} e um produto sobre k=0,\dots,n.
  • Para decidir a alternativa certa, é natural tentar simplificar a expressão geral de f_n(\theta) e depois avaliar nos valores dados.

Passo 2

Primeiro objetivo: simplificar a expressão geral \displaystyle f_{n}(\theta)=\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right)\prod_{k=0}^{n}\!\left(1+\operatorname{sec}\!\left(2^{k}\theta\right)\right) de forma telescópica, para obter uma forma simples que possamos avaliar facilmente.
Vou usar a relação entre \operatorname{sec} e \cos, e a identidade de ângulo metade \cos\alpha+1=2\cos^2\!\left(\frac{\alpha}{2}\right). Estas são fórmulas básicas:
\operatorname{sec} \alpha=\frac{1}{\cos\alpha},\qquad \cos\alpha+1=2\cos^2\!\left(\frac{\alpha}{2}\right).

Passo 3

Calcular um termo genérico do produto:
1+\operatorname{sec}\!\left(2^{k}\theta\right)=1+\frac{1}{\cos\!\left(2^{k}\theta\right)} =\frac{\cos\!\left(2^{k}\theta\right)+1}{\cos\!\left(2^{k}\theta\right)} =\frac{2\cos^2\!\left(2^{k-1}\theta\right)}{\cos\!\left(2^{k}\theta\right)}.
Isso vale para todo k; note que para k=0 aparece \cos\!\left(2^{-1}\theta\right)=\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right).

Passo 4

Formamos o produto \displaystyle P:=\prod_{k=0}^{n}\!\left(1+\operatorname{sec}\!\left(2^{k}\theta\right)\right) usando a expressão do passo anterior:
P=\prod_{k=0}^{n}\frac{2\cos^2\!\left(2^{k-1}\theta\right)}{\cos\!\left(2^{k}\theta\right)} =2^{\,n+1}\,\frac{\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\cos^2\!\left(2^{k-1}\theta\right)} {\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\cos\!\left(2^{k}\theta\right)}.

Passo 5

Manipular os produtos com mudança de índice. No numerador temos
\prod_{k=0}^{n}\cos^2\!\left(2^{k-1}\theta\right) =\Bigg(\prod_{k=0}^{n}\cos\!\left(2^{k-1}\theta\right)\Bigg)^2 =\Big(\cos\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)\prod_{k=0}^{n-1}\cos\!\left(2^{k}\theta\right)\Big)^2.
No denominador:
\prod_{k=0}^{n}\cos\!\left(2^{k}\theta\right)=\Big(\prod_{k=0}^{n-1}\cos\!\left(2^{k}\theta\right)\Big)\cos\!\left(2^{n}\theta\right).
Substituindo isso em P obtemos
P=2^{\,n+1}\,\frac{\cos^2\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)\Big(\prod_{k=0}^{n-1}\cos\!\left(2^{k}\theta\right)\Big)^2} {\Big(\prod_{k=0}^{n-1}\cos\!\left(2^{k}\theta\right)\Big)\cos\!\left(2^{n}\theta\right)} =2^{\,n+1}\cos^2\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)\,\frac{\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}\cos\!\left(2^{k}\theta\right)}{\cos\!\left(2^{n}\theta\right)}.

Passo 6

Usar a identidade clássica que vem de aplicar repetidamente a fórmula de ângulo duplo para seno:
\sin(2x)=2\sin x\cos x.
Aplicando isso em cadeia (produto dos fatores 2\cos ao dobrar os ângulos), obtemos a identidade
\sin\!\left(2^{n}\theta\right)=2^{\,n}\sin\theta\prod_{k=0}^{n-1}\cos\!\left(2^{k}\theta\right).
Isto é fácil de ver por indução: para n=1 é a fórmula básica; supondo verdadeiro para n, ao dobrar dá o caso n+1.

Passo 7

Substituindo a expressão da identidade do seno na fórmula de P do passo 5, isolamos \prod_{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\theta):
\prod_{k=0}^{n-1}\cos\!\left(2^{k}\theta\right)=\frac{\sin\!\left(2^{n}\theta\right)}{2^{\,n}\sin\theta}.
Logo
P=2^{\,n+1}\cos^2\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)\frac{\dfrac{\sin\!\left(2^{n}\theta\right)}{2^{\,n}\sin\theta}}{\cos\!\left(2^{n}\theta\right)} =2\cos^2\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)\frac{\sin\!\left(2^{n}\theta\right)}{\sin\theta}\cdot\frac{1}{\cos\!\left(2^{n}\theta\right)}.
Observando \dfrac{\sin\!\left(2^{n}\theta\right)}{\cos\!\left(2^{n}\theta\right)}=\tan\!\left(2^{n}\theta\right), reescrevemos
P=2\cos^2\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)\frac{\tan\!\left(2^{n}\theta\right)}{\sin\theta}.

Passo 8

Agora volte à definição de f_n(\theta):
f_n(\theta)=\tan\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)\,P =\tan\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)\,2\cos^2\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)\frac{\tan\!\left(2^{n}\theta\right)}{\sin\theta}.
Simplificar o fator \tan\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)\cos^2\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right). Lembrando \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x},
\tan\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)\cos^2\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right) =\frac{\sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)}{\cos\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)}\cos^2\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right) =\sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)\cos\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right).
E \sin\theta=2\sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)\cos\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right), então
2\sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)\cos\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)=\sin\theta \quad\Rightarrow\quad 2\cdot\big(\sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)\cos\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)\big)=\sin\theta.
Assim os fatores se cancelam e ficamos com o resultado telescópico muito simples:
f_{n}(\theta)=\tan\!\left(2^{n}\theta\right).
Resumo importante: para qualquer n e \theta (em que tudo esteja definido),
\boxed{\,f_{n}(\theta)=\tan\!\left(2^{n}\theta\right)\,}.

Passo 9

Agora avalio cada alternativa usando f_n(\theta)=\tan\!\left(2^{n}\theta\right).
(a) Para n=2,\\ \theta=\dfrac{\pi}{16}:
2^{2}\theta=4\cdot\frac{\pi}{16}=\frac{\pi}{4},\qquad f_2\!\left(\frac{\pi}{16}\right)=\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1.
A alternativa (a) afirma \dfrac{\sqrt{3}}{3}; como 1\neq\dfrac{\sqrt{3}}{3}, (a) é falsa.
(b) Para n=3,\\ \theta=\dfrac{\pi}{96}:
2^{3}\theta=8\cdot\frac{\pi}{96}=\frac{\pi}{12}.
Portanto
f_3\!\left(\frac{\pi}{96}\right)=\tan\!\left(\frac{\pi}{12}\right)=\tan(15^\circ).
Recordando a identidade \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}, com \alpha=45^\circ,\\ \beta=30^\circ (isto é, 45^\circ-30^\circ=15^\circ), temos
\tan(15^\circ)=\frac{\tan45^\circ-\tan30^\circ}{1+\tan45^\circ\tan30^\circ} =\frac{1-\tfrac{1}{\sqrt{3}}}{1+1\cdot\tfrac{1}{\sqrt{3}}} =\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}.
Racionalizando:
\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} =\frac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}.
Logo
f_3\!\left(\frac{\pi}{96}\right)=2-\sqrt{3},
portanto a alternativa (b) é verdadeira.
(c) Para n=4,\\ \theta=\dfrac{\pi}{664}:
2^{4}\theta=16\cdot\frac{\pi}{664}=\frac{16\pi}{664}=\frac{2\pi}{83}.
Então
f_4\!\left(\frac{\pi}{664}\right)=\tan\!\left(\frac{2\pi}{83}\right).
Esse valor não é -1 (pois \tan x=-1 ocorreria quando x\equiv -\tfrac{\pi}{4}\pmod{\pi}, e \tfrac{2\pi}{83} não é congruente a -\tfrac{\pi}{4} módulo \pi). Logo (c) é falsa.
(d) Para n=5,\\ \theta=\dfrac{\pi}{12}:
2^{5}\theta=32\cdot\frac{\pi}{12}=\frac{32\pi}{12}=\frac{8\pi}{3}.
Reduzindo módulo \pi (período da tangente):
\frac{8\pi}{3}-2\pi=\frac{8\pi-6\pi}{3}=\frac{2\pi}{3},
logo
f_5\!\left(\frac{\pi}{12}\right)=\tan\!\left(\frac{8\pi}{3}\right)=\tan\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}.
A alternativa (d) afirma \sqrt{3}, então (d) é falsa.

Passo 10

Conclusão: somente a alternativa (b) é correta, porque f_n(\theta)=\tan(2^n\theta) e no caso (b) isso dá exatamente 2-\sqrt{3}.

Resposta

(b)

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