(IIT - JEE - 1999) Considere a seguinte relação
. Marque a alternativa correta:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dá-se a família de funções
- Pede-se escolher a alternativa correta entre:
(a)
(b)
(c)
(d)
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A definição de
envolve , e um produto sobre . - Para decidir a alternativa certa, é natural tentar simplificar a expressão geral de
e depois avaliar nos valores dados.
Passo 2
Primeiro objetivo: simplificar a expressão geral
de forma telescópica, para obter uma forma simples que possamos avaliar facilmente.
Vou usar a relação entre
e
, e a identidade de ângulo metade
. Estas são fórmulas básicas:
Passo 3
Calcular um termo genérico do produto:
Isso vale para todo
; note que para
aparece
.
Passo 4
Formamos o produto
usando a expressão do passo anterior:
Passo 5
Manipular os produtos com mudança de índice. No numerador temos
No denominador:
Substituindo isso em
obtemos
Passo 6
Usar a identidade clássica que vem de aplicar repetidamente a fórmula de ângulo duplo para seno:
Aplicando isso em cadeia (produto dos fatores
ao dobrar os ângulos), obtemos a identidade
Isto é fácil de ver por indução: para
é a fórmula básica; supondo verdadeiro para
, ao dobrar dá o caso
.
Passo 7
Substituindo a expressão da identidade do seno na fórmula de
do passo 5, isolamos
:
Logo
Observando
, reescrevemos
Passo 8
Agora volte à definição de
:
Simplificar o fator
. Lembrando
,
E
, então
Assim os fatores se cancelam e ficamos com o resultado telescópico muito simples:
Resumo importante: para qualquer
e
(em que tudo esteja definido),
Passo 9
Agora avalio cada alternativa usando
.
(a) Para
:
A alternativa (a) afirma
; como
, (a) é falsa.
(b) Para
:
Portanto
Recordando a identidade
, com
(isto é,
), temos
Racionalizando:
Logo
portanto a alternativa (b) é verdadeira.
(c) Para
:
Então
Esse valor não é
(pois
ocorreria quando
, e
não é congruente a
módulo
). Logo (c) é falsa.
(d) Para
:
Reduzindo módulo
(período da tangente):
logo
A alternativa (d) afirma
, então (d) é falsa.
Passo 10
Conclusão: somente a alternativa (b) é correta, porque
e no caso (b) isso dá exatamente
.
Resposta
(b)