(Encontro de Matemática de Michigan - 2025) Uma reta que passa pelo ponto Q=(c, 2025) e é tangente a curva de equação y=x^{4}+20 x^{3}+25 em dois pontos A=(\alpha, \beta) e B=(m, n). Sobre o valor c podemos afirmar que é um número:
a) primo
b) quadrado perfeito
c) múltiplo de 5
d) racional não inteiro
e) divisivel por 6

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dada a curva y=f(x) com
f(x)=x^{4}+20x^{3}+25,
e um ponto Q=(c,2025).
  • Existe uma reta que passa por Q e que é tangente à curva em dois pontos distintos A=(\alpha,\beta) e B=(m,n).
  • O enunciado pede dizer qual das alternativas sobre c é verdadeira:
    a) primo, b) quadrado perfeito, c) múltiplo de 5, d) racional não inteiro, e) divisível por 6.
Observações importantes que vou usar depois (aqui só listo): tangência em um ponto implica que a reta coincide com a derivada da curva naquele ponto; se a mesma reta é tangente em dois pontos distintos, o polinômio f(x) menos a reta terá duas raízes duplas (multiplicidade 2) nesses pontos. A resolução começa de fato no próximo passo.

Passo 2

Condição de tangência e ideia chave (explicação didática).
  • Se uma reta tem equação y=px+q e é tangente à curva y=f(x) no ponto com abscissa t, então a reta e a curva têm valor igual e mesma inclinação em t. Ou seja:
    f(t)=p t+q \qquad\text{e}\qquad f'(t)=p.
    Isso é porque a inclinação da reta é a derivada da curva no ponto de tangência.
  • Se a mesma reta é tangente em dois pontos x=\alpha e x=m (com \alpha\neq m), então f(x)-(p x+q) é um polinômio que se anula com multiplicidade pelo menos 2 em x=\alpha e em x=m. Como f é um polinômio de grau 4 e subtrai-se uma reta (grau 1), o resultado é ainda um polinômio de grau 4. Ter duas raízes duplas significa que ele se factoriza exatamente como
    f(x)-(p x+q)=(x-\alpha)^{2}(x-m)^{2}.
    O coeficiente líder do lado esquerdo é 1 (porque f tem coeficiente líder 1), então o factor à direita tem coeficiente líder 1 também — consistente.
Esta é a estratégia: igualar os coeficientes entre f(x)-(p x+q) e a expansão de (x-\alpha)^{2}(x-m)^{2} e extrair relações entre \alpha e m, depois obter p,q e, finalmente, c.

Passo 3

Expandir (x-\alpha)^{2}(x-m)^{2} e comparar coeficientes com f(x)-(p x+q).
  • Primeiro escrevo explicitamente
f(x)-(p x+q)=x^{4}+20x^{3}+25 - p x - q.
  • Agora expando
(x-\alpha)^{2}(x-m)^{2}=(x^{2}-2\alpha x+\alpha^{2})(x^{2}-2m x+m^{2}).
Multiplicando e coletando termos obtemos
(x-\alpha)^{2}(x-m)^{2}=x^{4}-2(\alpha+m)x^{3}+(\alpha^{2}+4\alpha m+m^{2})x^{2}-2\alpha m(\alpha+m)x+\alpha^{2}m^{2}.
  • Igualando coeficientes termo a termo entre as duas expressões (coeficiente de x^{4} já bate), obtemos o sistema:
    1. Coeficiente de x^{3}: -2(\alpha+m)=20 \quad\Rightarrow\quad \alpha+m=-10.
    2. Coeficiente de x^{2}: \alpha^{2}+4\alpha m+m^{2}=0.Mas \alpha^{2}+4\alpha m+m^{2}=(\alpha+m)^{2}+2\alpha m. Substituindo \alpha+m=-10: 100+2\alpha m=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha m=-50.
    3. Coeficiente de x: à esquerda é -2\alpha m(\alpha+m), à direita é -p (porque em f(x)-(p x+q) o coeficiente de x é -p). Logo -2\alpha m(\alpha+m)=-p.Substituindo \alpha m=-50 e \alpha+m=-10: -2\cdot(-50)\cdot(-10)=-p \quad\Rightarrow\quad -1000=-p \quad\Rightarrow\quad p=1000.
    4. Coeficiente constante: \alpha^{2}m^{2} deve ser igual a 25-q (porque constante em f(x)-(p x+q) é 25-q). Assim \alpha^{2}m^{2}=25-q.Como \alpha m=-50, tem-se \alpha^{2}m^{2}=2500. Logo 2500=25-q \quad\Rightarrow\quad q=25-2500=-2475.
Resumo até aqui: a reta tangente tem coeficiente angular p=1000 e termo independente q=-2475.

Passo 4

Usar que a reta passa por Q=(c,2025) para encontrar c.
  • A reta encontrada é
y=1000x-2475.
  • Como Q está sobre a reta, substitui-se x=c e y=2025:
2025=1000c-2475.
  • Resolvo para c:
1000c=2025+2475=4500 \quad\Rightarrow\quad c=\dfrac{4500}{1000}=\dfrac{9}{2}=4{,}5.
Portanto c=\dfrac{9}{2}, que é um número racional, mas não é inteiro.

Passo 5

Concluir qual alternativa é verdadeira e justificar brevemente porque as outras ficam falsas.
  • c=\dfrac{9}{2} não é primo (primalidade refere-se a inteiros positivos), não é quadrado perfeito (não é inteiro), não é múltiplo de 5 (não inteiro), não é divisível por 6 (não inteiro). É um número racional não inteiro.
Logo a alternativa correta é a letra d).

Resposta

d) racional não inteiro

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