(Encontro de Matemática de Michigan - 2025) Uma reta que passa pelo ponto
e é tangente a curva de equação
em dois pontos
e
. Sobre o valor c podemos afirmar que é um número:
a) primo
b) quadrado perfeito
c) múltiplo de 5
d) racional não inteiro
e) divisivel por 6
a) primo
b) quadrado perfeito
c) múltiplo de 5
d) racional não inteiro
e) divisivel por 6
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dada a curva
com
e um ponto
.
-
Existe uma reta que passa por
e que é tangente à curva em dois pontos distintos e . -
O enunciado pede dizer qual das alternativas sobre
é verdadeira:
a) primo, b) quadrado perfeito, c) múltiplo de, d) racional não inteiro, e) divisível por .
Observações importantes que vou usar depois (aqui só listo): tangência em um ponto implica que a reta coincide com a derivada da curva naquele ponto; se a mesma reta é tangente em dois pontos distintos, o polinômio
menos a reta terá duas raízes duplas (multiplicidade 2) nesses pontos. A resolução começa de fato no próximo passo.
Passo 2
Condição de tangência e ideia chave (explicação didática).
-
Se uma reta tem equação
e é tangente à curva no ponto com abscissa , então a reta e a curva têm valor igual e mesma inclinação em . Ou seja: Isso é porque a inclinação da reta é a derivada da curva no ponto de tangência. -
Se a mesma reta é tangente em dois pontos
e (com ), então é um polinômio que se anula com multiplicidade pelo menos em e em . Como é um polinômio de grau e subtrai-se uma reta (grau ), o resultado é ainda um polinômio de grau . Ter duas raízes duplas significa que ele se factoriza exatamente como O coeficiente líder do lado esquerdo é(porque tem coeficiente líder ), então o factor à direita tem coeficiente líder também — consistente.
Esta é a estratégia: igualar os coeficientes entre
e a expansão de
e extrair relações entre
e
, depois obter
e, finalmente,
.
Passo 3
Expandir
e comparar coeficientes com
.
- Primeiro escrevo explicitamente
- Agora expando
Multiplicando e coletando termos obtemos
- Igualando coeficientes termo a termo entre as duas expressões (coeficiente de
já bate), obtemos o sistema: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
: Mas . Substituindo : - Coeficiente de
: à esquerda é , à direita é (porque em o coeficiente de é ). Logo Substituindo e : - Coeficiente constante:
deve ser igual a (porque constante em é ). Assim Como , tem-se . Logo
- Coeficiente de
Resumo até aqui: a reta tangente tem coeficiente angular
e termo independente
.
Passo 4
Usar que a reta passa por
para encontrar
.
- A reta encontrada é
- Como
está sobre a reta, substitui-se e :
- Resolvo para
:
Portanto
, que é um número racional, mas não é inteiro.
Passo 5
Concluir qual alternativa é verdadeira e justificar brevemente porque as outras ficam falsas.
-
não é primo (primalidade refere-se a inteiros positivos), não é quadrado perfeito (não é inteiro), não é múltiplo de (não inteiro), não é divisível por (não inteiro). É um número racional não inteiro.
Logo a alternativa correta é a letra d).
Resposta
d) racional não inteiro