Nas competições de surf nas Olimpíadas, os competidores têm direito à cinco notas que são dadas por julgamentos das suas manobras por juízes. A maior e a menor nota são descartadas. Considerando estas condições calcule a soma, média e variância de um surfista que teve as seguintes notas.
\mathbf{1}^{\mathbf{a}} Nota \mathbf{2}^{\mathbf{a}} Nota \mathbf{3}^{\mathbf{a}} Nota \mathbf{4}^{\mathbf{a}} Nota \mathbf{5}^{\mathbf{a}} Nota
5,74 8,23 2,47 6,93 9,13

Passo 1

O enunciado dá as cinco notas (vou pegar os valores diretamente da tabela do enunciado): \,5,74, \,8,23, \,2,47, \,6,93 e \,9,13.
Pede para descartarmos a maior e a menor nota e, com as três restantes, calcular a soma, a média e a variância do surfista.
Resumo das informações relevantes que vamos usar: as cinco notas são \,5,74, \,8,23, \,2,47, \,6,93, \,9,13; descarta-se a maior e a menor; com as três notas restantes calcularemos soma, média e variância.

Passo 2

Primeiro identifico a maior e a menor nota (usando os números que peguei da tabela).
A menor é \,2,47.
A maior é \,9,13.
Portanto as três notas que permanecem são \,5,74, \,8,23 e \,6,93. Vou trabalhar apenas com essas três.

Passo 3

Cálculo da soma das três notas restantes. A soma é feita somando cada valor (mostro as contas passo a passo):
5,74 + 8,23 = 13,97
13,97 + 6,93 = 20,90
Logo a soma das três notas consideradas é \,20,90.

Passo 4

Cálculo da média das três notas. Vou explicar a fórmula antes: a média aritmética de n valores x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \bar{x} é a média e n é o número de observações. Aqui n=3.
Aplicando com a soma que já temos:
\bar{x}=\frac{20,90}{3}.
Podemos simplificar a fração: 20,90=\dfrac{209}{10}, então
\bar{x}=\frac{209}{30}.
Como decimal repetido,
\bar{x}=6,966\overline{6}\\ (\text{aproximadamente }6,966666\ldots).
Na prova você pode apresentar a média como \dfrac{20,90}{3}, como \dfrac{209}{30} ou como 6,966\overline{6}.

Passo 5

Escolha e definição da variância. Vou usar a definição usual para um conjunto fechado de observações (variância populacional): se temos n valores, a variância é
\sigma^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}.
Observação rápida (útil na prova): quando se trata do conjunto completo que estamos avaliando (aqui, as 3 notas que contam), usa-se divisor n. Se estivéssemos trabalhando com uma amostra para inferência estatística, usaríamos n-1. Como o exercício pede a variância das notas consideradas, uso divisor n=3.
Há um atalho de cálculo que evita subtrair o valor médio de cada observação:
\sigma^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^{2}-\bar{x}^{2}.
Vou usar esse atalho porque é mais simples para calcular na prova sem muitos arredondamentos.
Primeiro calcule \sum x_i^{2} para as três notas (estou usando os valores que peguei da tabela):
5,74^{2}=32,9476,
8,23^{2}=67,7329,
6,93^{2}=48,0249.
Somando:
\sum x_i^{2}=32,9476+67,7329+48,0249=148,7054.
Agora aplico a fórmula do atalho com n=3:
\sigma^{2}=\frac{1}{3}\cdot 148,7054 - \left(\frac{20,90}{3}\right)^{2}.
Calculo passo a passo:
\frac{1}{3}\cdot 148,7054=49,568466\overline{6},
e já computamos (\bar{x}{2}=\left(\dfrac{20,90}{3}\right){2}=\dfrac{436,81}{9}=48,5344\overline{4}.
]
Subtraindo:
\sigma^{2}=49,568466\overline{6}-48,5344\overline{4}=1,0340222\overline{2}.
Também posso apresentar a variância exata como fração racional (útil na prova para evitar dúvidas de arredondamento). Fazendo a conta exata com frações obtemos
\sigma^{2}=\frac{46531}{45000}\approx 1,0340222\overline{2}.)

Passo 6

Resumo final dos resultados que você precisa anotar na prova: soma, média e variância das três notas que ficaram após descartar a maior e a menor. Força — você já chegou até aqui, a parte mecânica está pronta; revisa só os arredondamentos que seu professor espera (alguns pedem 2 casas decimais, outros pedem forma exata).

Resposta

Soma: \,20,90
Média: \dfrac{20,90}{3} = \dfrac{209}{30} = 6,966\overline{6}
Variância: \dfrac{46531}{45000} \approx 1,0340222\overline{2}

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