Completa o rectângulo mágico que deve ser constituído par númerns de 1 a 16 sem repretiçãn, preenchendo os espaços em branco com os restantes oito (8) números (2,3,5,7,10,12,14,15), de forma que a soma de cada linha, coluna ou diagonal seja 34.
(7 pontos)

Passo 1

Então, a gente tem um “retângulo mágico” 4×4 usando todos os números de 1 a 16 sem repetir. Já foram colocados oito números (1, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 16) em posições fixas, e faltam preencher os espaços vazios com os outros oito (2, 3, 5, 7, 10, 12, 14, 15). A condição mágica é que cada linha, coluna ou diagonal some 34.
Matéria: quadrado mágico.
O que vamos precisar:
  • Saber a soma mágica .
  • Usar o fato de que a soma de cada linha, coluna ou diagonal é .
  • Preencher passo a passo cada casa vazia aplicando essas somas.

Passo 2

Calcular a soma mágica M = 1 + n^22timesn^2n ;=;1+162times164 ;=;8.5times4 ;=;34 . Num quadrado com 1 a ,
Então cada linha, coluna ou diagonal deve somar 34.

Passo 3

Vamos representar o quadrado com “_” nas casas vazias (os números já dados são conforme a disposição clássica de Dürer):
|c|c|c|c| hline 16 & & & 13hline & 11 & & 8 hline 9 & & & 12hline 4 & & & 1 hline
As casas vazias devem receber .

Passo 4

Olha a diagonal principal (de cima-esquerda para baixo-direita):
(1,1)=16 + (2,2)=11 + (3,3)+ (4,4)=1 ;=;34
Logo
16 + 11 + x + 1 = 34 Longrightarrow x = 34 - 28 = 6
Como 6 já estava nos números fixos, concluímos que a casa (3,3) era justamente o 6. Agora o quadrado é
|c|c|c|c| hline 16 & & & 13hline & 11 & & 8 hline 9 & & 6 & 12hline 4 & & & 1 hline

Passo 5

Use a linha 3:
9 + a + 6 + 12 = 34 Longrightarrow a = 34 - 27 = 7
Então (3,2) = 7.

Passo 6

Agora a diagonal secundária (de cima-direita para baixo-esquerda):
(1,4)=13 + (2,3) + (3,2)=7 + (4,1)=4 = 34 ;Longrightarrow; (2,3) = 34 - (13+7+4) = 10

Passo 7

Linha 2:
b + 11 + 10 + 8 = 34 Longrightarrow b = 34 - 29 = 5
Portanto (2,1) = 5.

Passo 8

Linha 4:
4 + c + d + 1 = 34 Longrightarrow c + d = 29,
e as únicas opções entre que somam 29 são . Então (4,2),(4,3) = 14,15 em alguma ordem.

Passo 9

Olha a coluna 2:
(1,2) + 11 + 7 + (4,2)=34
Se (4,2)=14, então
(1,2) = 34 - (11+7+14) = 2
Isso funciona (se fosse 15 daria 1, mas 1 já está). Logo (4,2)=14 e (1,2)=2. Logo (4,3)=15.

Passo 10

Sobrou uma única casa vazia: (1,3). O único número restante é 3.

Resposta

O quadrado mágico completo é
|c|c|c|c| hline 16 & 2 & 3 & 13hline 5 & 11 & 10 & 8 hline 9 & 7 & 6 & 12hline 4 & 14 & 15 & 1 hline

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