Considere a equação de Lambert dada por x e^x=t, onde t é um número real positivo. Mostre que esta equação possui uma única solução p que pertence ao intervalo [0, t]. Usando esta estimativa como intervalo inicial, quantos passos são necessário para obter o valor numérico de p com erro inferior a 10^-6 quando t=1 ? E quando t=10 ?

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem a equação de Lambert
x,e^x ;=; t
com erro <= b-a2^n < varepsilon Longrightarrow n > log2!l(tfracb-avarepsilonr) . O que a questão pede:
1. Mostrar que existe uma única solução em .
2. Usar esse intervalo inicial no método da bisseção e calcular quantos passos são necessários para chegar em com erro menor que , primeiro para e depois para .
Conteúdo que vamos usar:
- Teorema do valor intermediário e monotonicidade (para garantir existência e unicidade).
- Método da bisseção e a fórmula do número de iterações:

Passo 2

Mostrando existência e unicidade em f(x) = x,e^x :
Defina
f'(x) = e^x + x,e^x = (1+x)e^x > 0 forall,x>=0,
  1. f é contínua e derivável em f(t) = t,e^t > tcdot1 = t .
  2. A derivada é logo é estritamente crescente.
  3. Em , . Em , Pela monotonicidade e pelo teorema do valor intermediário, existe um único tal que .

Passo 3

Método da bisseção em b-a2^n = t-02^n = t2^n :
  1. A cada iteração a gente divide o intervalo ao meio e escolhe o subintervalo onde muda de sinal.
  2. Depois de t2^n < 10^-6 Longrightarrow 2^n > t10^-6 Longrightarrow n > log2!l(tfract10^-6r) passos, o comprimento do intervalo é
  3. Queremos que esse erro seja menor que :
  4. A gente vai arredondar sempre para cima ( ) para garantir o erro.

Passo 4

Aplicando para cada n > log2!l(1 / 10^-6r) = log2(10^6) = 6,log2(10) approx 6 times 3.3219 = 19.9314ldots :
  • Quando n > log2!l(10 / 10^-6r) = log2(10^7) = 7,log2(10) approx 7 times 3.3219 = 23.2533ldots :
    Logo passos.
  • Quando :
    Logo passos.

Resposta

São necessários 20 passos para e 24 passos para .

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