Considere a equação de Lambert dada por
, onde
é um número real positivo. Mostre que esta equação possui uma única solução
que pertence ao intervalo
. Usando esta estimativa como intervalo inicial, quantos passos são necessário para obter o valor numérico de
com erro inferior a
quando
? E quando
?
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem a equação de Lambert
com
1. Mostrar que existe uma única solução
2. Usar esse intervalo inicial
Conteúdo que vamos usar:
- Teorema do valor intermediário e monotonicidade (para garantir existência e unicidade).
- Método da bisseção e a fórmula do número de iterações:
Passo 2
Mostrando existência e unicidade em
:
Defina
Defina
- f é contínua e derivável em
. - A derivada é
logo é estritamente crescente. - Em
, . Em , Pela monotonicidade e pelo teorema do valor intermediário, existe um único tal que .
Passo 3
Método da bisseção em
:
- A cada iteração a gente divide o intervalo ao meio e escolhe o subintervalo onde muda de sinal.
- Depois de
passos, o comprimento do intervalo é - Queremos que esse erro seja menor que
: - A gente vai arredondar sempre para cima (
) para garantir o erro.
Passo 4
Aplicando para cada
:
-
Quando
: Logopassos. -
Quando
: Logopassos.
Resposta
São necessários 20 passos para
e 24 passos para
.