Completando o quadrado, determine a transformada inversa de Laplace de:
s+1s^2+3 s+5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a transformada inversa de Laplace da função s+1s^2+3s+5. Isso está dentro do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar completar o quadrado no denominador para facilitar a transformação inversa. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: s^2 + 3s + 5. Para completar o quadrado, queremos reescrever essa expressão de uma forma que envolva (s + a)^2 + b, onde a e b são números que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para s^2 + 3s + 5:
  1. Pegue o coeficiente de s, que é 3, e divida por 2: 32.
  2. Eleve ao quadrado esse valor: (32)^2 = 94.
  3. Reescreva a expressão adicionando e subtraindo 94:
s^2 + 3s + 5 = (s^2 + 3s + 94) + 5 - 94 = (s + 32)^2 + 114
Então, s^2 + 3s + 5 = (s + 32)^2 + 114.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a fração original usando essa forma completada do denominador:
s + 1s^2 + 3s + 5 = s + 1(s + 32)^2 + 114

Passo 5

Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir u = s + 32. Então, s = u - 32. Substituindo na fração:
(u - 32) + 1u^2 + 114 = u - 12u^2 + 114

Passo 6

Agora, separamos a fração em duas partes:
uu^2 + 114 - 12u^2 + 114
Isso ajuda porque conhecemos as transformadas inversas de Laplace dessas formas.

Passo 7

Lembrando das transformadas inversas:
  1. L^-1uu^2 + a^2 = cos(a t)
  2. L^-1au^2 + a^2 = sin(a t)
No nosso caso, a^2 = 114, então a = raiz112.

Passo 8

Aplicando as transformadas inversas:
  1. L^-1uu^2 + 114 = cos(raiz112 t)
  2. L^-112u^2 + 114 = 12 cdot 2raiz11 sin(raiz112 t) = 1raiz11 sin(raiz112 t)

Passo 9

Agora, não podemos esquecer da mudança de variável que fizemos: u = s + 32. Na transformada inversa de Laplace, isso corresponde a multiplicar o resultado por e^-32 t.

Passo 10

Juntando tudo, a transformada inversa de Laplace é:
e^-32 t ( cos(raiz112 t) - 1raiz11 sin(raiz112 t) )

Resposta

A transformada inversa de Laplace de s+1s^2+3 s+5 é:
e^-32 t ( cos(raiz112 t) - 1raiz11 sin(raiz112 t) )

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