Completando o quadrado, determine a transformada inversa de Laplace de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a transformada inversa de Laplace da função
. Isso está dentro do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar completar o quadrado no denominador para facilitar a transformação inversa. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração:
. Para completar o quadrado, queremos reescrever essa expressão de uma forma que envolva
, onde
e
são números que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos completar o quadrado para
:
- Pegue o coeficiente de
, que é 3, e divida por 2: . - Eleve ao quadrado esse valor:
. - Reescreva a expressão adicionando e subtraindo
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a fração original usando essa forma completada do denominador:
Passo 5
Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir
. Então,
. Substituindo na fração:
Passo 6
Agora, separamos a fração em duas partes:
Isso ajuda porque conhecemos as transformadas inversas de Laplace dessas formas.
Passo 7
Lembrando das transformadas inversas:
No nosso caso,
, então
.
Passo 8
Aplicando as transformadas inversas:
Passo 9
Agora, não podemos esquecer da mudança de variável que fizemos:
. Na transformada inversa de Laplace, isso corresponde a multiplicar o resultado por
.
Passo 10
Juntando tudo, a transformada inversa de Laplace é:
Resposta
A transformada inversa de Laplace de
é: