Determine a transformada inversa de Laplace de:
rac{s}{(s+1)^{2}+5}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=s(s+1)^2+5
O conteúdo envolve o teorema de deslocamento em s e as transformadas conhecidas de e^-atcos(bt) e e^-atsin(bt).

Passo 2

Relembremos as fórmulas básicas:
Le^-tcos(raiz5,t) =s+1(s+1)^2+5,
Le^-tsin(raiz5,t) =raiz5(s+1)^2+5
Para usar isso, vamos expressar o numerador s em função de s+1.

Passo 3

Note que
s = (s+1)-1
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s(s+1)^2+5 =(s+1)-1(s+1)^2+5 =s+1(s+1)^2+5;-;1(s+1)^2+5

Passo 4

Agora aplicamos as inversas de cada termo:
  • s+1(s+1)^2+5 inverte para e^-tcos(raiz5,t).
  • Para 1(s+1)^2+5, escrevemos 1(s+1)^2+5 =1raiz5;raiz5(s+1)^2+5, e portanto inverte para 1raiz5,e^-tsin(raiz5,t).
Como o segundo termo vem com sinal negativo, teremos subtração.

Resposta

f(t) = e^-tcos(raiz5,t) -1raiz5,e^-tsin(raiz5,t)

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