Complete
para uma base de
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
em
e pede para completá‑lo até uma base de
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- Dois vetores em
: e . - A tarefa é encontrar um (ou mais) vetor(es)
tal que seja uma base de .
Passo 2
O que significa completar para uma base? Relembrando (passo a passo, sem pressa):
- Uma base de
é um conjunto de vetores que satisfaz duas propriedades simultâneas: - São linearmente independentes.
- Geram (ou span) todo
.
- Linearmente independente quer dizer: se existem escalares
tais que , então todos os devem ser zero. Aqui, os são números reais desconhecidos que pesam cada vetor na combinação linear. - Gerar
quer dizer: qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base: para alguns escalares .
Passo 3
Verificar a situação atual: os vetores dados são linearmente independentes?
- Considere
. Isso equivale componente a componente a: - Comparando componentes:
, . Não há outra solução. - Conclusão:
é um conjunto linearmente independente com dois vetores. Como estamos em , precisamos de mais um vetor para obter uma base (uma base de tem exatamente 3 vetores).
Passo 4
Estratégia prática para escolher o terceiro vetor
:
- Para completar um conjunto linearmente independente a uma base, basta escolher um vetor que não esteja no subespaço gerado pelos vetores já dados.
- Qual é o subespaço gerado por
e ? É o conjunto de todas as combinações . Ou seja, é o plano dos vetores com terceira componente zero (o plano ). - Portanto, qualquer vetor com terceira componente diferente de zero não pertence a esse plano e servirá como
. O mais simples é pegar , porque tem terceira componente .
Passo 5
Mostrar que
é linearmente independente:
- Suponha que existam escalares
tais que - Isso dá, por componentes,
- Logo
, , . Portanto os três vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Mostrar que
gera
:
- Tome um vetor arbitrário
. - Pode‑se escrever imediatamente
- Assim qualquer vetor de
é combinação linear desses três vetores, logo eles geram .
Passo 7
Conclusão e observações finais:
- Como o conjunto é linearmente independente e gera
, é uma base. - Observação prática: não é obrigatório escolher exatamente
. Qualquer vetor cujo terceiro componente seja não nulo funciona (por exemplo , , etc.). A escolha é a mais simples e leva à base canônica.