Complete \{(1,0,0),(0,1,0)\} para uma base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \{(1,0,0),(0,1,0)\} em \mathbb{R}^3 e pede para completá‑lo até uma base de \mathbb{R}^3.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Dois vetores em \mathbb{R}^3: v_1=(1,0,0) e v_2=(0,1,0).
  • A tarefa é encontrar um (ou mais) vetor(es) v_3 tal que \{v_1,v_2,v_3\} seja uma base de \mathbb{R}^3.

Passo 2

O que significa completar para uma base? Relembrando (passo a passo, sem pressa):
  • Uma base de \mathbb{R}^3 é um conjunto de vetores que satisfaz duas propriedades simultâneas:
    1. São linearmente independentes.
    2. Geram (ou span) todo \mathbb{R}^3.
  • Linearmente independente quer dizer: se existem escalares c_1,c_2,\dots tais que \sum c_i v_i = (0,0,0), então todos os c_i devem ser zero. Aqui, os c_i são números reais desconhecidos que pesam cada vetor na combinação linear.
  • Gerar \mathbb{R}^3 quer dizer: qualquer vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base: (x,y,z)=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3 para alguns escalares \alpha_i.

Passo 3

Verificar a situação atual: os vetores dados são linearmente independentes?
  • Considere a(1,0,0)+b(0,1,0)=(0,0,0). Isso equivale componente a componente a: (a,\,b,\,0)=(0,0,0).
  • Comparando componentes: a=0, b=0. Não há outra solução.
  • Conclusão: \{(1,0,0),(0,1,0)\} é um conjunto linearmente independente com dois vetores. Como estamos em \mathbb{R}^3, precisamos de mais um vetor para obter uma base (uma base de \mathbb{R}^3 tem exatamente 3 vetores).

Passo 4

Estratégia prática para escolher o terceiro vetor v_3:
  • Para completar um conjunto linearmente independente a uma base, basta escolher um vetor que não esteja no subespaço gerado pelos vetores já dados.
  • Qual é o subespaço gerado por v_1 e v_2? É o conjunto de todas as combinações a(1,0,0)+b(0,1,0)=(a,b,0). Ou seja, é o plano dos vetores com terceira componente zero (o plano z=0).
  • Portanto, qualquer vetor com terceira componente diferente de zero não pertence a esse plano e servirá como v_3. O mais simples é pegar v_3=(0,0,1), porque tem terceira componente 1\neq0.

Passo 5

Mostrar que \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} é linearmente independente:
  • Suponha que existam escalares c_1,c_2,c_3 tais que c_1(1,0,0)+c_2(0,1,0)+c_3(0,0,1)=(0,0,0).
  • Isso dá, por componentes, (c_1,\,c_2,\,c_3)=(0,0,0).
  • Logo c_1=0, c_2=0, c_3=0. Portanto os três vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Mostrar que \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} gera \mathbb{R}^3:
  • Tome um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.
  • Pode‑se escrever imediatamente (x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1).
  • Assim qualquer vetor de \mathbb{R}^3 é combinação linear desses três vetores, logo eles geram \mathbb{R}^3.

Passo 7

Conclusão e observações finais:
  • Como o conjunto é linearmente independente e gera \mathbb{R}^3, é uma base.
  • Observação prática: não é obrigatório escolher exatamente (0,0,1). Qualquer vetor cujo terceiro componente seja não nulo funciona (por exemplo (1,1,1), (2,0,3), etc.). A escolha (0,0,1) é a mais simples e leva à base canônica.

Resposta

\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}

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