Verifique se T(x, y)=(x+y, y) é linear.

Passo 1

O enunciado dá a transformação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(x+y,\;y).
A pergunta é: verificar se T é linear. Ou seja, confirmar se a transformação satisfaz as propriedades exigidas para uma transformação linear.

Passo 2

Lembrete didático: uma transformação T é linear se, para todos os vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e para todo escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
\text{(Aditividade)}\quad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(Homogeneidade)}\quad T(c\,u)=c\,T(u).
Aqui u e v são vetores genéricos; escrever explicitamente suas componentes ajuda a checar as igualdades.

Passo 3

Verificação da aditividade. Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Primeiro calculo u+v e aplico T:
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
T(u+v)=\big((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\;y_1+y_2\big).
Agora calculo T(u) e T(v) separadamente e somo:
T(u)=(x_1+y_1,\;y_1),\qquad T(v)=(x_2+y_2,\;y_2).
T(u)+T(v)=(x_1+y_1+x_2+y_2,\;y_1+y_2).
Comparando as duas expressões:
T(u+v)=\big(x_1+y_1+x_2+y_2,\;y_1+y_2\big)=T(u)+T(v).
Portanto a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y). Primeiro calculo c\,u e aplico T:
c\,u=(c x,\;c y).
T(c\,u)=\big(c x + c y,\;c y\big)=\big(c(x+y),\;c y\big).
Agora calculo c\,T(u):
T(u)=(x+y,\;y)\quad\Rightarrow\quad c\,T(u)=\big(c(x+y),\;c y\big).
Logo
T(c\,u)=c\,T(u),
ou seja, a homogeneidade também é satisfeita.

Passo 5

Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para vetores genéricos e escalar genérico, concluímos que T é uma transformação linear.

Passo 6

Complemento útil: representação matricial. Para ver a forma matricial de T, calculo a imagem das bases canônicas \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1):
T(1,0)=(1+0,\;0)=(1,0),
T(0,1)=(0+1,\;1)=(1,1).
As colunas da matriz de T na base canônica são T(\mathbf{e}_1) e T(\mathbf{e}_2). Portanto a matriz de T é
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
e de fato para todo (x,y) vale
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}.]

Passo 7

Checagem rápida (sanity check): toda transformação linear satisfaz T(0,0)=(0,0). Aqui
T(0,0)=(0+0,\;0)=(0,0),
o que é consistente com a linearidade encontrada.

Resposta

Sim. T é linear.
Matriz associada na base canônica: \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

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