Verifique se
é linear.
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
A pergunta é: verificar se
é linear. Ou seja, confirmar se a transformação satisfaz as propriedades exigidas para uma transformação linear.
Passo 2
Lembrete didático: uma transformação
é linear se, para todos os vetores
e para todo escalar
, valem as duas propriedades:
Aqui
e
são vetores genéricos; escrever explicitamente suas componentes ajuda a checar as igualdades.
Passo 3
Verificação da aditividade. Seja
e
. Primeiro calculo
e aplico
:
Agora calculo
e
separadamente e somo:
Comparando as duas expressões:
Portanto a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
Verificação da homogeneidade. Seja
e
. Primeiro calculo
e aplico
:
Agora calculo
:
Logo
ou seja, a homogeneidade também é satisfeita.
Passo 5
Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para vetores genéricos e escalar genérico, concluímos que
é uma transformação linear.
Passo 6
Complemento útil: representação matricial. Para ver a forma matricial de
, calculo a imagem das bases canônicas
e
:
As colunas da matriz de
na base canônica são
e
. Portanto a matriz de
é
e de fato para todo
vale
Passo 7
Checagem rápida (sanity check): toda transformação linear satisfaz
. Aqui
o que é consistente com a linearidade encontrada.
Resposta
Sim.
é linear.
Matriz associada na base canônica:
.]