Obtenha uma base e a dimensão do subespaço soma F1+F2, onde X1=(0,1,0,1),(0,0,0,1),(0,2,0,-2), X2=(1,1,0,0),(0,1,0,0), nos casos abaixo:

Passo 1

O objetivo é encontrar uma base e a dimensão de F1+F2, onde F1=span(X1) e F2=span(X2). O conteúdo é soma de subespaços vetoriais e vamos precisar usar que F1+F2=span(X1cup X2) e extrair uma base desse gerador, via eliminação de Gauss.

Passo 2

Reunimos todos os vetores geradores em um único conjunto X=X1cup X2:
X=(0,1,0,1),;(0,0,0,1),;(0,2,0,-2),;(1,1,0,0),;(0,1,0,0)
Para encontrar uma base de span(X), montamos a matriz cujas linhas são esses vetores:
0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 0 & 2 & 0 & -2 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss sobre as linhas. Primeiro permutamos para ter pivô em 1,1:
1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 0 & 2 & 0 & -2 0 & 1 & 0 & 0
Em seguida eliminamos abaixo dos pivôs em coluna 2 e 4, obtendo a forma escalonada:
1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0

Passo 4

Os pivôs aparecem nas colunas 1, 2 e 4, logo a dimensão é 3. As linhas não-nulas dessa forma escalonada são independentes e geram F1+F2. Elas correspondem aos vetores
$$(1,1,0,0),\quad(0,1,0,1),\quad(0,0,0,1).
$$

Passo 5

Portanto, uma base de F1+F2 é {(1,1,0,0),,(0,1,0,1),,(0,0,0,1)} e \dim(F_1+F_2)=3.

Resposta

Base: {(1,1,0,0),;(0,1,0,1),;(0,0,0,1)}. Dimensão: 3.

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