Obtenha uma base e a dimensão do subespaço soma F1+F2, onde X1=(1,2,1,0),(0,1,2,0), X2=(1,1,0,1),(1,1,-1,0), nos casos abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para achar uma base e a dimensão do subespaço soma F1+F2, onde F1=span(1,2,1,0),(0,1,2,0) e F2=span(1,1,0,1),(1,1,-1,0). O tema é soma de subespaços em espaços vetoriais e vamos precisar testar independência linear dos vetores geradores usando eliminação de Gauss.

Passo 2

Primeiro unimos todos os geradores de F1 e F2. Chamemos-os de
v_1=(1,2,1,0),
v_2=(0,1,2,0),
v_3=(1,1,0,1),
v_4=(1,1,-1,0).
Para ver quantos são independentes, montamos a matriz cujas linhas são esses vetores:
M= 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 0 1 & 1 & 0 & 1 1 & 1 & -1 & 0

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss. Subtraindo a primeira linha de 3ª e 4ª linhas, e em seguida usando a segunda para zerar, chegamos a
1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0

Passo 4

Os pivôs estão nas colunas 1, 2 e 3, o que mostra que apenas três vetores são independentes. Escolhendo os três primeiros vetores originais v1,v2,v3 temos uma base e conferimos que v4 fica como combinação linear deles.

Resposta

Uma base para F1+F2 é {(1,2,1,0),,(0,1,2,0),,(1,1,0,1)} e dim(F1+F2)=3.

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