Obtenha uma base e a dimensão do subespaço soma , onde , nos casos abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para achar uma base e a dimensão do subespaço soma , onde e . O tema é soma de subespaços em espaços vetoriais e vamos precisar testar independência linear dos vetores geradores usando eliminação de Gauss.
Passo 2
Primeiro unimos todos os geradores de e . Chamemos-os de
v_1=(1,2,1,0),
v_2=(0,1,2,0),
v_3=(1,1,0,1),
v_4=(1,1,-1,0).
Para ver quantos são independentes, montamos a matriz cujas linhas são esses vetores:
Passo 3
Aplicamos eliminação de Gauss. Subtraindo a primeira linha de 3ª e 4ª linhas, e em seguida usando a segunda para zerar, chegamos a
Os pivôs estão nas colunas 1, 2 e 3, o que mostra que apenas três vetores são independentes. Escolhendo os três primeiros vetores originais v1,v2,v3 temos uma base e conferimos que v4 fica como combinação linear deles.
Resposta
Uma base para F1+F2 é {(1,2,1,0),,(0,1,2,0),,(1,1,0,1)} e dim(F1+F2)=3.