Complete o conjunto de modo a encontrar uma base de .
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em ,
e pede para completar esse conjunto a uma base de . O conteúdo aqui é o método de extensão de um conjunto linearmente independente até formar uma base, escolhendo vetores adicionais que não pertençam ao núcleo do conjunto atual.
Passo 2
Primeiro, verificamos que
então
Isso gera o sistema
Das duas últimas equações vem . Logo e são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos escolher
v3 = (0,0,1,0)
Para ver que v1,v2,v3 continua independente, suponha
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (0,0,0,0)
Isso dá
(a - b,;a + b,;2a + c,;3b) = (0,0,0,0)
Da terceira coordenada vem 2a + c = 0; da quarta vem 3b = 0implies b=0. Com b=0, as duas primeiras dão a=0. Então também c=0. Logo v3 não está no span de v1,v2.
Passo 4
Escolhemos finalmente
v4 = (0,0,0,1)
Para ver que v1,v2,v3,v4 é independente, suponha
a,v1 + b,v2 + c,v3 + d,v4 = (0,0,0,0),
isto é
(a - b,;a + b,;2a + c,;3b + d) = (0,0,0,0)
Da quarta coordenada vem 3b + d = 0. Mas já tínhamos de antes a=b=c=0, logo d=0. Concluímos que os únicos coeficientes possíveis são todos nulos, o que prova a independência.
Resposta
Uma base de R^4 que completa (1,1,2,0),(-1,1,0,3) é