Complete o conjunto (1,1,2,0),(-1,1,0,3) de modo a encontrar uma base de R^4.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em R^4,
v1 = (1,1,2,0), v2 = (-1,1,0,3),
e pede para completar esse conjunto a uma base de R^4. O conteúdo aqui é o método de extensão de um conjunto linearmente independente até formar uma base, escolhendo vetores adicionais que não pertençam ao núcleo do conjunto atual.

Passo 2

Primeiro, verificamos que
então
Isso gera o sistema
Das duas últimas equações vem . Logo e são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos escolher
v3 = (0,0,1,0)
Para ver que v1,v2,v3 continua independente, suponha
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (0,0,0,0)
Isso dá
(a - b,;a + b,;2a + c,;3b) = (0,0,0,0)
Da terceira coordenada vem 2a + c = 0; da quarta vem 3b = 0implies b=0. Com b=0, as duas primeiras dão a=0. Então também c=0. Logo v3 não está no span de v1,v2.

Passo 4

Escolhemos finalmente
v4 = (0,0,0,1)
Para ver que v1,v2,v3,v4 é independente, suponha
a,v1 + b,v2 + c,v3 + d,v4 = (0,0,0,0),
isto é
(a - b,;a + b,;2a + c,;3b + d) = (0,0,0,0)
Da quarta coordenada vem 3b + d = 0. Mas já tínhamos de antes a=b=c=0, logo d=0. Concluímos que os únicos coeficientes possíveis são todos nulos, o que prova a independência.

Resposta

Uma base de R^4 que completa (1,1,2,0),(-1,1,0,3) é
(1,1,2,0),;(-1,1,0,3),;(0,0,1,0),;(0,0,0,1)

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