Considere o espaço vetorial R^2 com +e cdot usuais.
Encontre a matriz de mudança da base canônica para a base (1,2),(-2,1).

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de coordenadas da base canônica
(1,0),(0,1)
para a base
v1=(1,2),,v2=(-2,1)
em R^2.
O que precisamos é a matriz P que leva um vetor expresso em coordenadas canônicas [x]E para suas coordenadas na base B, isto é
[x]B ;=; P,[x]E

Passo 2

Para obter P, lembramos que suas colunas são as coordenadas de cada vetor da base canônica em relação à base B.
Logo precisamos achar [e1]B e [e2]B, onde
e1=(1,0), e2=(0,1)

Passo 3

Para
Isso gera o sistema
Resolvendo, de . Substituindo em
Portanto
]

Passo 4

Para
que dá o sistema
De . Substituindo em obtemos
Logo
]

Passo 5

Juntando as colunas [e1]B e [e2]B, a matriz de mudança de base da canônica para B é
P ;=; tfrac15 & tfrac25 [6pt] -tfrac25 & tfrac15 ]

Resposta

P = tfrac15 & tfrac25 [6pt] -tfrac25 & tfrac15 ]

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