Verifique se são L. I.s os subconjuntos dos espaços vetoriais:
o subconjunto (-1,0,1),(2,1,2),(1,1,3),(0,1,4) de R^3 com +e cdot usuais.

Passo 1

O enunciado nos dá o subconjunto
v1,v2,v3,v4subsetR^3
com
v1=(-1,0,1), v2=(2,1,2), v3=(1,1,3), v4=(0,1,4),
e pede para verificar se esses vetores são linearmente independentes. O conteúdo aqui é dependência linear em R^3. Em R^3 não podem existir mais de três vetores linearmente independentes, então basta mostrar uma combinação não-trivial que dê o vetor zero.

Passo 2

Para mostrar dependência linear, buscamos escalares alpha,beta,gamma,de<a, nem todos nulos, tais que
alpha,v1+beta,v2+gamma,v3+de<a,v4=(0,0,0)

Passo 3

Observamos que, coordenada a coordenada,
(-1,0,1)+(1,1,3)=(0,1,4),
ou seja,
v1+v3=v4
Isso significa
1cdot v1+0cdot v2+1cdot v3-1cdot v4=(0,0,0),
uma combinação não-trivial (os coeficientes não são todos zero).

Passo 4

Como encontramos escalares (alpha,beta,gamma,de<a)=(1,0,1,-1)neq(0,0,0,0) que satisfazem
alpha v1+beta v2+gamma v3+de<a v4=0, concluímos que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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