Discuta o sistema abaixo em função dos coeficientes p e q.
c x-y-z=10 2 x-y+3 z=9 4 x-3 y+p z=q

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas x,y,z que depende de dois parâmetros p e q. O que precisamos fazer é classificar o sistema em função de p e q, ou seja, determinar quando ele tem solução única, infinitas soluções ou é impossível. Para isso vamos usar determinantes (regra de Cramer) e, no caso singular, verificar a consistência das equações.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz de coeficientes
A = 1 & -1 & -1 2 & -1 & 3 4 & -3 & p
Usando desenvolvimento por cofactores na primeira linha obtemos
det(A) =1cdotdet!-1&3-3&p -(-1)cdotdet!2&34&p +(-1)cdotdet!2&-14&-3
Calculando cada menor:
det!-1&3-3&p = -1cdot p -3cdot(-3)=9-p,
det!2&34&p =2p-12,
det!2&-14&-3 = -6-(-4)=-2
Logo
det(A) = (9-p) + (2p-12) + 2 = p-1

Passo 3

Se det(A)neq0, ou seja se
pneq1,
então o sistema é compatível determinado e tem única solução para qualquer valor de q (basta aplicar a regra de Cramer).

Passo 4

Agora consideremos o caso singular
det(A)=0, isto é
p=1
Nesse caso o sistema pode ter infinitas soluções ou ser impossível. Para decidir, verificamos se a terceira equação é combinação linear das duas primeiras. Queremos achar a,b tais que
a,(x - y - z) + b,(2x - y + 3z) ;=;4x -3y + z
Comparando coeficientes de x,y,z:
a +2b =4, -a -b =-3, -a+3b =1
Resolvendo, obtemos a=2 e b=1.

Passo 5

Para que o termo independente também seja o mesmo, a combinação deve dar 10a +9b igual a q. Como
10a +9b =10cdot2 +9cdot1 =29,
concluímos que, quando p=1:
  • se q=29, a terceira equação é combinação das duas primeiras e o sistema tem infinitas soluções;
  • se qneq29, há contradição nos termos independentes e o sistema é impossível.

Resposta

  • Para p neq 1: única solução (sistema compatível determinado).
  • Para p = 1 e q = 29: infinitas soluções (sistema compatível indeterminado).
  • Para p = 1 e q neq 29: nenhuma solução (sistema incompatível).

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