Discuta o sistema abaixo em função do coeficiente k.
c x+y+2 z=0 3 x-y-z=0 x+2 y+k z=0

Passo 1

O enunciado pede a discussão, em função de k, de um sistema linear homogêneo de três equações e três incógnitas. Vamos usar o determinante da matriz dos coeficientes para saber quando o sistema tem só a solução trivial e quando admite soluções não-triviais, e em seguida, no caso degenerado, resolver o sistema para obter a forma geral das soluções.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = 1 & 1 & 2 3 & -1 & -1 1 & 2 & k
e calculamos seu determinante por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet-1 & -12 & k -1cdotdet3 & -11 & k +2cdotdet3 & -11 & 2
Agora cada menor:
det-1 & -12 & k=-k+2, det3 & -11 & k=3k+1, det3 & -11 & 2=6+1=7
Logo
det(A)=(-k+2)-(3k+1)+2cdot7 =15-4k
Portanto:
  • Se kneq154, então det(A)neq0 e o sistema tem posto 3, logo só a solução trivial (0,0,0).
  • Se k=tfrac154, então det(A)=0 e o posto cai, abrindo espaço para soluções não-triviais.

Passo 3

No caso
Da primeira equação vem , é
ou em forma inteira

Resposta

Para kneq154 o sistema só tem a solução trivial (0,0,0).
Para k=154 há infinitas soluções, descritas por
(x,y,z)=t(-1,-7,4), tinR

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