Complete a demonstração a seguir de que -u é o único vetor em V tal que u+(-u)=0. Suponha que w satisfaça u+w=0. Somando -u a ambos os lados, temos
(-u)+[u+w]=(-u)+0
[(-u)+u]+w & =(-u)+0 0+w & =(-u)+0 w & =-u
pelo Axioma (a)
pelo Axioma (b)
pelo Axioma (c)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se w satisfaz
u + w = 0,
então necessariamente w = -u. Vamos usar os axiomas de espaço vetorial relativos à adição: associatividade, existência de inverso aditivo e existência de elemento neutro aditivo.

Passo 2

A partir de
(-u) + (u + w) = (-u) + 0,
aplicamos o axioma da associatividade da adição para reescrever o lado esquerdo:
l((-u) + ur) + w = (-u) + 0

Passo 3

Pelo axioma do inverso aditivo, sabemos que para todo vetor u existe -u tal que
u + (-u) = 0
Usando também a comutatividade da adição, obtemos
(-u) + u = 0,
logo
0 + w = (-u) + 0

Passo 4

Finalmente, pelo axioma do elemento neutro aditivo, temos
0 + w = w,
e também
(-u) + 0 = -u
Portanto
w = -u

Resposta

(a) associatividade da adição
(b) inverso aditivo
(c) elemento neutro aditivo

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