Complete a demonstração a seguir de que
é o único vetor em
tal que
. Suponha que
satisfaça
. Somando -u a ambos os lados, temos
pelo Axioma
(a)
pelo Axioma
(b)
pelo Axioma
(c)
pelo Axioma
pelo Axioma
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se
satisfaz
então necessariamente
. Vamos usar os axiomas de espaço vetorial relativos à adição: associatividade, existência de inverso aditivo e existência de elemento neutro aditivo.
Passo 2
A partir de
aplicamos o axioma da associatividade da adição para reescrever o lado esquerdo:
Passo 3
Pelo axioma do inverso aditivo, sabemos que para todo vetor
existe
tal que
Usando também a comutatividade da adição, obtemos
logo
Passo 4
Finalmente, pelo axioma do elemento neutro aditivo, temos
e também
Portanto
Resposta
(a) associatividade da adição
(b) inverso aditivo
(c) elemento neutro aditivo
(b) inverso aditivo
(c) elemento neutro aditivo