a. Um vetor é qualquer elemento de um espaço vetorial.
b. Se v for um vetor em um espaço vetorial V, então ( -1 )v será igual ao negativo de v.
c. Um espaço vetorial também é um subespaço.
d. R^2 é um subespaço de R^3.
e. Um subconjunto H de um espaço vetorial V é um subespaço de V se as seguintes condições forem satisfeitas: (i) o vetor nulo de V pertencer a H, (ii) u, v e u+v pertencerem a H e (iii) c for um escalar e c v pertencer a $H.

Passo 1

O enunciado lista cinco afirmações sobre vetores, espaços vetoriais e subespaços, e pede que decidamos se cada uma é verdadeira ou falsa. Para isso vamos usar:
  1. Definição de vetor e de espaço vetorial.
  2. Propriedades básicas de espaços vetoriais (existência de elemento oposto, fecho em soma e multiplicação por escalar).
  3. Definição de subespaço (subconjunto que herda as operações e satisfaz as propriedades de espaço vetorial).

Passo 2

Afirmação (a): “Um vetor é qualquer elemento de um espaço vetorial.”
Por definição, um espaço vetorial V é um conjunto cujos elementos chamamos de vetores. Logo, (a) é verdadeira.

Passo 3

Afirmação (b): “Se v for um vetor em um espaço vetorial V, então (-1)v será igual ao negativo de v.”
Uma das propriedades de todo espaço vetorial é que existe o escalar -1 e vale
(-1)v = -v,
que é justamente o oposto aditivo de v. Portanto, (b) é verdadeira.

Passo 4

Afirmação (c): “Um espaço vetorial também é um subespaço.”
Para afirmar que algo é subespaço é preciso dizer “subespaço de quê?”. A afirmação, do modo como está, não especifica um espaço maior do qual ele seria subespaço, logo é ambígua e, nessa forma, falsa.

Passo 5

Afirmação (d): “ R^2 é um subespaço de R^3.”
Para ser subespaço, R^2 teria de ser um subconjunto de R^3 (com mesmas operações). Mas não há inclusão natural R^2subseteqR^3. O que existe é um espaço isomorfo, mas não igualdade de conjuntos. Logo, (d) é falsa.

Passo 6

Afirmação (e): “Um subconjunto H de um espaço vetorial V é um subespaço de V se as seguintes condições forem satisfeitas:
(i) o vetor nulo de V pertence a H,
(ii) u,vin H implica u+vin H,
(iii) para todo escalar c e vin H tem-se cvin H.”
Essas três condições equivalem exatamente ao critério de subespaço. Portanto, (e) é verdadeira.

Resposta

a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Falsa
e) Verdadeira

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