a. Um vetor é qualquer elemento de um espaço vetorial.
b. Se
for um vetor em um espaço vetorial
, então ( -1 )v será igual ao negativo de
.
c. Um espaço vetorial também é um subespaço.
d.
é um subespaço de
.
e. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço de
se as seguintes condições forem satisfeitas: (i) o vetor nulo de
pertencer a
, (ii)
e
pertencerem a
e (iii)
for um escalar e
pertencer a $H.
b. Se
c. Um espaço vetorial também é um subespaço.
d.
e. Um subconjunto
Passo 1
O enunciado lista cinco afirmações sobre vetores, espaços vetoriais e subespaços, e pede que decidamos se cada uma é verdadeira ou falsa. Para isso vamos usar:
- Definição de vetor e de espaço vetorial.
- Propriedades básicas de espaços vetoriais (existência de elemento oposto, fecho em soma e multiplicação por escalar).
- Definição de subespaço (subconjunto que herda as operações e satisfaz as propriedades de espaço vetorial).
Passo 2
Afirmação (a): “Um vetor é qualquer elemento de um espaço vetorial.”
Por definição, um espaço vetorial é um conjunto cujos elementos chamamos de vetores. Logo, (a) é verdadeira.
Por definição, um espaço vetorial
Passo 3
Afirmação (b): “Se
for um vetor em um espaço vetorial
, então
será igual ao negativo de
.”
Uma das propriedades de todo espaço vetorial é que existe o escalar e vale
Uma das propriedades de todo espaço vetorial é que existe o escalar
que é justamente o oposto aditivo de
. Portanto, (b) é verdadeira.
Passo 4
Afirmação (c): “Um espaço vetorial também é um subespaço.”
Para afirmar que algo é subespaço é preciso dizer “subespaço de quê?”. A afirmação, do modo como está, não especifica um espaço maior do qual ele seria subespaço, logo é ambígua e, nessa forma, falsa.
Para afirmar que algo é subespaço é preciso dizer “subespaço de quê?”. A afirmação, do modo como está, não especifica um espaço maior do qual ele seria subespaço, logo é ambígua e, nessa forma, falsa.
Passo 5
Afirmação (d): “
é um subespaço de
.”
Para ser subespaço, teria de ser um subconjunto de
(com mesmas operações). Mas não há inclusão natural
. O que existe é um espaço isomorfo, mas não igualdade de conjuntos. Logo, (d) é falsa.
Para ser subespaço,
Passo 6
Afirmação (e): “Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço de
se as seguintes condições forem satisfeitas:
(i) o vetor nulo de pertence a
,
(ii) implica
,
(iii) para todo escalar e
tem-se
.”
Essas três condições equivalem exatamente ao critério de subespaço. Portanto, (e) é verdadeira.
(i) o vetor nulo de
(ii)
(iii) para todo escalar
Essas três condições equivalem exatamente ao critério de subespaço. Portanto, (e) é verdadeira.
Resposta
a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Falsa
e) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Falsa
e) Verdadeira