Preencha o número dos axiomas que estão faltando na demonstração a seguir de que para todo escalar .
pelo Axioma
(a)
pelo Axioma
(b)
Some o negativo de c0a ambos os lados:
pelo Axioma (c)
pelo Axioma (d)
pelo Axioma (e)
Passo 1
O objetivo é mostrar que, em qualquer espaço vetorial, vale
onde é o vetor neutro da soma e é escalar. Usaremos os axiomas usuais de espaço vetorial:
. (A) Comutatividade da soma: . . (A) Associatividade da soma: . . (A) Existência do neutro aditivo: existe tal que . . (A) Existência do inverso aditivo: para todo existe tal que . . (A) Distributividade escalar sobre soma de vetores: . . (A) Distributividade escalar sobre soma de escalares: . . (A) Associatividade da multiplicação escalar: . . (A) Neutro da multiplicação escalar: .
Passo 2
Primeiro escrevemos
Aqui usamos o fato de que , que decorre de (A) aplicado a . Portanto
Passo 3
Agora aplicamos a distributividade escalar (A):
Passo 4
Em seguida, adicionamos a em ambos os membros. Partindo de
somamos e obtemos
Esta substituição de iguais (se então ) é uma propriedade da igualdade em qualquer estrutura algébrica.