Preencha o número dos axiomas que estão faltando na demonstração a seguir de que c 0=0 para todo escalar c.
c 0 & =c(0+0) & =c 0+c 0
pelo Axioma
(a)
pelo Axioma
(b)
Some o negativo de c0a ambos os lados:
c 0+(-c 0) & =[c 0+c 0]+(-c 0) c 0+(-c 0) & =c 0+[c 0+(-c 0)] 0 & =c 0+0 0 & =c 0
pelo Axioma (c)
pelo Axioma (d)
pelo Axioma (e)

Passo 1

O objetivo é mostrar que, em qualquer espaço vetorial, vale
;c,0=0,
onde 0 é o vetor neutro da soma e c é escalar. Usaremos os axiomas usuais de espaço vetorial:
1. (A 1) Comutatividade da soma: u+v=v+u.
2. (A 2) Associatividade da soma: (u+v)+w=u+(v+w).
3. (A 3) Existência do neutro aditivo: existe 0 tal que v+0=v.
4. (A 4) Existência do inverso aditivo: para todo v existe -v tal que v+(-v)=0.
5. (A 5) Distributividade escalar sobre soma de vetores: c(u+v)=cu+cv.
6. (A 6) Distributividade escalar sobre soma de escalares: (c+d)v=cv+dv.
7. (A 7) Associatividade da multiplicação escalar: (cd)v=c(dv).
8. (A 8) Neutro da multiplicação escalar: 1v=v.

Passo 2

Primeiro escrevemos
c,0 = cl(0+0r)
Aqui usamos o fato de que 0+0=0, que decorre de (A 3) aplicado a v=0. Portanto
c,0 = cl(0+0r) pela Axioma (a) = (A3)

Passo 3

Agora aplicamos a distributividade escalar (A 5):
cl(0+0r) = c,0+c,0 pela Axioma (b) = (A5)

Passo 4

Em seguida, adicionamos a -c,0 em ambos os membros. Partindo de
c,0 = c,0+c,0,
somamos -c,0 e obtemos
c,0+(-c,0) = l(c,0+c,0r)+(-c,0)
Esta substituição de iguais (se X=Y então X+Z=Y+Z) é uma propriedade da igualdade em qualquer estrutura algébrica.

Passo 5

Reagrupamos pelo axioma associativo da soma (A 2):
l(c,0+c,0r)+(-c,0) = c,0+l(c,0+(-c,0)r) pela Axioma (c) = (A2)

Passo 6

Agora usamos o inverso aditivo (A 4) em c,0+(-c,0):
c,0+(-c,0)=0
Logo, na igualdade anterior obtemos
0 = c,0+underbracel(c,0+(-c,0)r)=0 = c,0+0 pela Axioma (d) = (A4)

Passo 7

Finalmente, pelo neutro aditivo (A 3) temos
c,0+0=c,0,
logo
0=c,0
Isto é pela Axioma (e) = (A 3).

Resposta

(a) 3
(b) 5
(c) 2
(d) 4
(e) 3

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