Nos Exercícios 23 e 24, marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.
23. a. Se f for uma função no espaço vetorial V de todas as funções reais definidas em R e se f(t)=0 para algum t, então f será o vetor nulo de V.
b. Um vetor é uma seta no espaço tridimensional.
c. Um subconjunto H de um espaço vetorial V é um subespaço de V se o vetor nulo pertencer a H.
d. Um subespaco também é um espaco vetorial.
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d. Um subespaço tambem e um espaço vetorial.
e. Os sinais analógicos são usados nos principais sistemas de controle do ônibus espacial mencionado na introdução do capítulo.

Passo 1

O enunciado pede para decidir Verdadeira ou Falsa cinco afirmações sobre espaços vetoriais, vetores e sinais de controle. Vamos usar as definições básicas de espaço vetorial e subespaço, além de um pouco de conhecimento dos sistemas de controle do ônibus espacial.

Passo 2

Analisando a afirmação (a): “Se f for uma função no espaço vetorial V de todas as funções reais definidas em R e se f(t)=0 para algum t, então f será o vetor nulo de V.”
– Definição de vetor nulo: é a função que vale zero para todo t, ou seja, 0(t)=0 forall t.
– Se f(t0)=0 apenas num ponto t0, f pode assumir valores não nulos em outros pontos. Logo não é a função zero.

Passo 3

Analisando a afirmação (b): “Um vetor é uma seta no espaço tridimensional.”
– Geometricamente podemos representar vetores em R^3 por setas, mas “vetor” é um conceito mais geral em álgebra linear: é um elemento de qualquer espaço vetorial, não necessariamente R^3.

Passo 4

Analisando a afirmação (c): “Um subconjunto H de um espaço vetorial V é um subespaço de V se o vetor nulo pertencer a H.”
– Ter 0in H é condição necessária, mas não suficiente: também é preciso que H seja fechado em relação à soma e à multiplicação escalar.

Passo 5

Analisando a afirmação (d): “Um subespaço também é um espaço vetorial.”
– Por definição, um subespaço herda as operações de soma e escalar de V e satisfaz os axiomas de espaço vetorial.

Passo 6

Analisando a afirmação (e): “Os sinais analógicos são usados nos principais sistemas de controle do ônibus espacial mencionado na introdução do capítulo.”
– Os computadores de controle de voo do ônibus espacial são digitais, recebendo sinais de sensores analógicos mas usando conversores A/D imediatamente. Os laços de controle principais são implementados digitalmente.

Resposta

(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Verdadeira
(e) Falsa

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