Preencha o número dos axiomas que estão faltando na demonstração a seguir de que 0 u=0 para todo u em V.
0 u=(0+0) u=0 u+0 u
pelo Axioma (a)
Some o negativo de 0 u a ambos os lados:
0 u+(-0 u)=[0 u+0 u]+(-0 u)
0 u+(-0 u)=0 u+[0 u+(-0 u)]
pelo Axioma
0=0 u+0
0=0 u
pelo Axioma
pelo Axioma (d)

Passo 1

Vamos provar que para todo uin V vale
0,u=0,
usando apenas os axiomas de espaço vetorial. Na demonstração aparecem as seguintes etapas que se justificam por certos axiomas:
(a) (0+0)u=0u+0u,
(b) reagrupamento de soma de vetores,
(c) uso do inverso aditivo,
(d) uso do elemento neutro aditivo.

Passo 2

Como pela distributividade da soma de escalares sobre multiplicação escalar temos
(0+0),u=0,u+0,u,
essa igualdade é justificada pelo Axioma 6.

Passo 3

Ao somar -0,u em ambos os lados obtemos
0,u+(-0,u) = l[0,u+0,ur] +(-0,u)
e também
0,u+(-0,u) = 0,u + l[0,u+(-0,u)r]
Esse reagrupamento usa a associatividade da adição de vetores, ou seja, o Axioma 2.

Passo 4

Agora l[0,u+(-0,u)r] é o soma de um vetor com seu inverso, logo vale 0 pelo Axioma 4. Assim
0,u+(-0,u) = 0,u+0

Passo 5

Finalmente, como 0 é o elemento neutro para a adição em V, temos
0,u+0=0,u
pelo Axioma 3, e concluímos que
0=0,u

Resposta

(a) Axioma 6
(b) Axioma 2
(c) Axioma 4
(d) Axioma 3

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