Preencha o número dos axiomas que estão faltando na demonstração a seguir de que
para todo
em
.
pelo Axioma
(a)
Some o negativo de
a ambos os lados:
pelo Axioma
pelo Axioma
pelo Axioma
(d)
pelo Axioma
pelo Axioma
pelo Axioma
pelo Axioma
Passo 1
Vamos provar que para todo
vale
usando apenas os axiomas de espaço vetorial. Na demonstração aparecem as seguintes etapas que se justificam por certos axiomas:
(a) ,
(b) reagrupamento de soma de vetores,
(c) uso do inverso aditivo,
(d) uso do elemento neutro aditivo.
(a)
(b) reagrupamento de soma de vetores,
(c) uso do inverso aditivo,
(d) uso do elemento neutro aditivo.
Passo 2
Como pela distributividade da soma de escalares sobre multiplicação escalar temos
essa igualdade é justificada pelo Axioma 6.
Passo 3
Ao somar
em ambos os lados obtemos
e também
Esse reagrupamento usa a associatividade da adição de vetores, ou seja, o Axioma 2.
Passo 4
Agora
é o soma de um vetor com seu inverso, logo vale
pelo Axioma 4. Assim
Passo 5
Finalmente, como
é o elemento neutro para a adição em
, temos
pelo Axioma 3, e concluímos que
Resposta
(a) Axioma 6
(b) Axioma 2
(c) Axioma 4
(d) Axioma 3
(b) Axioma 2
(c) Axioma 4
(d) Axioma 3