Complete quadrados e ache as raízes das equações
x^{2}-8 x-9=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
x^{2}-8x-9=0
e pede para completar quadrados e achar as raízes (ou seja, os valores de x que satisfazem a equação).
Informações dadas: coeficientes da quadrática são a=1, b=-8, c=-9.
Objetivo claro: transformar a expressão quadrática em um quadrado perfeito (completar o quadrado) e resolver para x.

Passo 2

Ideia do método “completar o quadrado” (mini-aula rápida): quando se tem um polinômio do tipo \,x^{2}+p x, pode-se torná-lo um quadrado perfeito somando \left(\dfrac{p}{2}\right)^{2}, porque
\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}=x^{2}+p x+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}.
No nosso caso vamos identificar p no termo que acompanha x e aplicar isso. Essa transformação facilita isolar x porque passamos a ter algo como (x+\text{constante})^{2}=\text{número}ú, que já resolvemos tirando raiz quadrada.

Passo 3

Isolar os termos que envolvem x: mover o termo constante -9 para o outro lado.
x^{2}-8x=9.
Agora a expressão à esquerda é do tipo x^{2}+p x com p=-8.

Passo 4

Calcular quanto somar para completar o quadrado: tomar p=-8, então
\left(\frac{p}{2}\right)^{2}=\left(\frac{-8}{2}\right)^{2}=(-4)^{2}=16.
Explicando: ao somar 16 a x^{2}-8x obtemos um quadrado perfeito, pois
x^{2}-8x+16=(x-4)^{2},
porque (x-4)^{2}=x^{2}-8x+16.

Passo 5

Somar 16 em ambos os lados da equação de maneira legítima (igualdade preservada):
x^{2}-8x+16=9+16.
Calcular o lado direito:
9+16=25.

Passo 6

Reescrever a equação usando o quadrado perfeito:
(x-4)^{2}=25.
Agora a equação está na forma “quadrado igual a número”, pronta para extrair raízes.

Passo 7

Tirar raiz quadrada em ambos os lados, lembrando do sinal \pm (porque tanto um número positivo quanto seu negativo elevam-se ao quadrado para dar o mesmo resultado):
x-4=\pm\sqrt{25}=\pm 5.
Isso gera duas equações lineares fáceis de resolver:
x-4=5 \quad\text{ou}\quad x-4=-5.

Passo 8

Resolver cada equação:
  • Se x-4=5, então x=4+5=9.
  • Se x-4=-5, então x=4-5=-1.
Portanto as duas raízes são x=9 e x=-1.

Passo 9

Verificação rápida (boa prática): substituir na equação original para checar.
  • Para x=9: 9^{2}-8\cdot9-9=81-72-9=0. OK.
  • Para x=-1: (-1)^{2}-8\cdot(-1)-9=1+8-9=0. OK.

Passo 10

Observação geral e dica para provas: para uma equação geral a x^{2}+b x+c=0 pode-se primeiro dividir tudo por a (se a\neq0) e depois completar o quadrado usando \left(\dfrac{b}{2a}\right)^{2}. Esse procedimento leva diretamente à fórmula de Bhaskara
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b, c são os coeficientes da equação original. Mas para casos com a=1 (como este), completar o quadrado é rápido e prático.

Resposta

x=9\n x=-1

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