Complete quadrados e ache as raízes das equações
.
Passo 1
O enunciado dá a equação quadrática
e pede para completar quadrados e achar as raízes (ou seja, os valores de
que satisfazem a equação).
Informações dadas: coeficientes da quadrática são ,
,
.
Objetivo claro: transformar a expressão quadrática em um quadrado perfeito (completar o quadrado) e resolver para .
Informações dadas: coeficientes da quadrática são
Objetivo claro: transformar a expressão quadrática em um quadrado perfeito (completar o quadrado) e resolver para
Passo 2
Ideia do método “completar o quadrado” (mini-aula rápida): quando se tem um polinômio do tipo
, pode-se torná-lo um quadrado perfeito somando
, porque
No nosso caso vamos identificar
no termo que acompanha
e aplicar isso. Essa transformação facilita isolar
porque passamos a ter algo como
, que já resolvemos tirando raiz quadrada.
Passo 3
Isolar os termos que envolvem
: mover o termo constante
para o outro lado.
Agora a expressão à esquerda é do tipo
com
.
Passo 4
Calcular quanto somar para completar o quadrado: tomar
, então
Explicando: ao somar
a
obtemos um quadrado perfeito, pois
porque
.
Passo 5
Somar
em ambos os lados da equação de maneira legítima (igualdade preservada):
Calcular o lado direito:
Passo 6
Reescrever a equação usando o quadrado perfeito:
Agora a equação está na forma “quadrado igual a número”, pronta para extrair raízes.
Passo 7
Tirar raiz quadrada em ambos os lados, lembrando do sinal
(porque tanto um número positivo quanto seu negativo elevam-se ao quadrado para dar o mesmo resultado):
Isso gera duas equações lineares fáceis de resolver:
Passo 8
Resolver cada equação:
- Se
, então . - Se
, então .
Portanto as duas raízes são
e
.
Passo 9
Verificação rápida (boa prática): substituir na equação original para checar.
- Para
: . OK. - Para
: . OK.
Passo 10
Observação geral e dica para provas: para uma equação geral
pode-se primeiro dividir tudo por
(se
) e depois completar o quadrado usando
. Esse procedimento leva diretamente à fórmula de Bhaskara
onde
,
,
são os coeficientes da equação original. Mas para casos com
(como este), completar o quadrado é rápido e prático.