Complete quadrados nas expressões, ou seja, escreva cada uma na forma
.
Passo 1
O enunciado pede: escrever a expressão na forma
. A expressão dada é
. Vou listar claramente o que temos:
- A expressão original é
. - O objetivo é reescrevê-la como
, isto é, encontrar , e tais que a igualdade valha para todo .
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar os termos em ordem padrão de um polinômio quadrático (termo de
, termo de
, termo constante) e fatorar o coeficiente do termo quadrático. Reescrevendo:
Agora fatoro
dos dois primeiros termos que envolvem
:
Explicação curta: ao fatorar
de
fica
; ao fatorar de
temos
, por isso aparece
dentro dos colchetes.
Passo 3
Agora a técnica do “completar o quadrado”. Regra geral: para qualquer número
,
Explicando essa identidade: expandindo
obtém-se
. Para recuperar apenas
, subtrai-se
. Aqui
é o coeficiente do termo em
dentro do parêntese (no nosso caso será
). Essa identidade é a base do completar quadrados: transformar um polinômio quadrático numa forma quadrada perfeita mais um ajuste constante.
Passo 4
Aplicando a identidade ao interior dos colchetes onde
:
Detalhe do cálculo: como
, temos
, e
. Note que escrever
é a mesma coisa que
com o
indicado.
Passo 5
Substituo essa identidade de volta na expressão já fatorada:
Agora distribuo o
nos termos do colchete:
Somando as constantes
obtemos
. Portanto os coeficientes finais são
,
e
.
Passo 6
Resumo didático e incentivo: completar o quadrado consistiu em (i) fatorar o coeficiente do termo
, (ii) usar a identidade
para transformar o polinômio numa quadrado perfeito menos uma constante, e (iii) ajustar as constantes fora do quadrado. Se você fizer esses passos com calma em qualquer quadrático, chega sempre à forma
. Vai dar certo na prova — respira, aplica o procedimento passo a passo e resolve.