Complete quadrados nas expressões, ou seja, escreva cada uma na forma a(x-b)^{2}+c
5-9 x^{2}+6 x.

Passo 1

O enunciado pede: escrever a expressão na forma a(x-b)^{2}+c. A expressão dada é 5-9 x^{2}+6 x. Vou listar claramente o que temos:
  • A expressão original é 5-9 x^{2}+6 x.
  • O objetivo é reescrevê-la como a(x-b)^{2}+c, isto é, encontrar a, b e c tais que a igualdade valha para todo x.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar os termos em ordem padrão de um polinômio quadrático (termo de x^{2}, termo de x, termo constante) e fatorar o coeficiente do termo quadrático. Reescrevendo:
5-9 x^{2}+6 x = -9x^{2}+6x+5.
Agora fatoro -9 dos dois primeiros termos que envolvem x:
-9x^{2}+6x+5 = -9\left(x^{2}-\frac{6}{9}x\right)+5 = -9\left(x^{2}-\frac{2}{3}x\right)+5.
Explicação curta: ao fatorar -9 de -9x^{2} fica x^{2}; ao fatorar de 6x temos 6x = -9\cdot\left(-\dfrac{2}{3}x\right), por isso aparece -\dfrac{2}{3}x dentro dos colchetes.

Passo 3

Agora a técnica do “completar o quadrado”. Regra geral: para qualquer número p,
x^{2}+p x = \left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}-\left(\frac{p}{2}\right)^{2}.
Explicando essa identidade: expandindo \left(x+\dfrac{p}{2}\right)^{2} obtém-se x^{2}+p x+\left(\dfrac{p}{2}\right)^{2}. Para recuperar apenas x^{2}+p x, subtrai-se \left(\dfrac{p}{2}\right)^{2}. Aqui p é o coeficiente do termo em x dentro do parêntese (no nosso caso será p=-\dfrac{2}{3}). Essa identidade é a base do completar quadrados: transformar um polinômio quadrático numa forma quadrada perfeita mais um ajuste constante.

Passo 4

Aplicando a identidade ao interior dos colchetes onde p=-\dfrac{2}{3}:
x^{2}-\frac{2}{3}x = \left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}-\left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}-\frac{1}{9}.
Detalhe do cálculo: como p=-\dfrac{2}{3}, temos \dfrac{p}{2}=-\dfrac{1}{3}, e \left(\dfrac{p}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{9}. Note que escrever \left(x-\dfrac{1}{3}\right)^{2} é a mesma coisa que \left(x+\dfrac{p}{2}\right)^{2} com o p indicado.

Passo 5

Substituo essa identidade de volta na expressão já fatorada:
-9\left(x^{2}-\frac{2}{3}x\right)+5 = -9\left[\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}-\frac{1}{9}\right]+5.
Agora distribuo o -9 nos termos do colchete:
-9\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2} +9\cdot\frac{1}{9} +5 = -9\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2} +1 +5.
Somando as constantes 1+5 obtemos 6. Portanto os coeficientes finais são a=-9, b=\dfrac{1}{3} e c=6.

Passo 6

Resumo didático e incentivo: completar o quadrado consistiu em (i) fatorar o coeficiente do termo x^{2}, (ii) usar a identidade x^{2}+p x=(x+\tfrac{p}{2})^{2}-(\tfrac{p}{2})^{2} para transformar o polinômio numa quadrado perfeito menos uma constante, e (iii) ajustar as constantes fora do quadrado. Se você fizer esses passos com calma em qualquer quadrático, chega sempre à forma a(x-b)^{2}+c. Vai dar certo na prova — respira, aplica o procedimento passo a passo e resolve.

Resposta

-9\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^{2}+6

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