A posição de uma partícula que se move em um plano XY é dada por \vec{R}(t)=\left(1,0 \mathrm{t}^{2}-2,0 \mathrm{t}\right) \hat{i}+(2,0- \left.2,0 \mathrm{t}^{3}\right) \hat{j}, com R em metros e t em segundos. Calcule, na notação dos vetores unitários, (a) \vec{R}, (b) \vec{V} e (c) \vec{A} para \mathrm{t}=2,0 \mathrm{~s}. (d) Qual é o ângulo entre o semi-eixo positivo X e uma reta tangente à trajetória da partícula em \mathrm{t}=2,0 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula como
\vec{R}(t)=\big(1,0\,t^{2}-2,0\,t\big)\hat{i}+\big(2,0-2,0\,t^{3}\big)\hat{j},
com \vec{R} em metros e t em segundos. Ele pede:
(a) o vetor posição \vec{R} em t=2,0\\ \mathrm{s};
(b) o vetor velocidade \vec{V} em t=2,0\\ \mathrm{s};
(c) o vetor aceleração \vec{A} em t=2,0\\ \mathrm{s};
(d) o ângulo entre o semi-eixo positivo X e a reta tangente à trajetória em t=2,0\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes que temos explicitamente: as componentes são
x(t)=1,0\,t^{2}-2,0\,t,\qquad y(t)=2,0-2,0\,t^{3},
e o tempo onde devemos avaliar é t=2,0\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma simples):
  • O vetor posição \vec{R}(t) tem componentes x(t) e y(t). Para avaliar \vec{R} em um tempo, basta calcular x(t) e y(t) nesse tempo.
  • Velocidade \vec{V}(t) é a derivada temporal do vetor posição:
\vec{V}(t)=\frac{d\vec{R}}{dt}=\dot{x}(t)\,\hat{i}+\dot{y}(t)\,\hat{j}.
Isto significa: derivamos cada componente em relação a t.
  • Aceleração \vec{A}(t) é a derivada temporal da velocidade (segunda derivada da posição):
\vec{A}(t)=\frac{d\vec{V}}{dt}=\ddot{x}(t)\,\hat{i}+\ddot{y}(t)\,\hat{j}.
  • Regra prática para derivar potências: se temos a\,t^{n} então \dfrac{d}{dt}(a\,t^{n})=a\cdot n\,t^{n-1}. Ex.: \dfrac{d}{dt}(3\,t^{2})=6\,t. A derivada de uma constante é zero.
  • O vetor velocidade aponta na direção da reta tangente à trajetória. O ângulo \theta entre o eixo +X e essa reta tangente (medido no sentido anti-horário) satisfaz, quando \dot{x}\neq 0,
\theta=\arctan\!\left(\frac{\dot{y}}{\dot{x}}\right).
Se \dot{x}>0 o valor de \arctan já dá o ângulo correto (pode ser negativo se estiver abaixo do eixo x); se \dot{x}<0 é preciso ajustar o quadrante (mas aqui verificaremos os sinais antes).

Passo 3

Escrevendo novamente as componentes e aplicando as regras de derivação:
x(t)=1,0\,t^{2}-2,0\,t
Derivando:
\dot{x}(t)=\frac{d}{dt}\big(1,0\,t^{2}\big)-\frac{d}{dt}\big(2,0\,t\big)=1,0\cdot 2\,t-2,0=2,0\,t-2,0.
Segunda derivada:
\ddot{x}(t)=\frac{d}{dt}\big(2,0\,t-2,0\big)=2,0.
y(t)=2,0-2,0\,t^{3}
Derivando:
\dot{y}(t)=0-\frac{d}{dt}\big(2,0\,t^{3}\big)=-2,0\cdot 3\,t^{2}=-6,0\,t^{2}.
Segunda derivada:
\ddot{y}(t)=\frac{d}{dt}\big(-6,0\,t^{2}\big)=-6,0\cdot 2\,t=-12,0\,t.

Passo 4

Agora avaliamos em t=2,0\\ \mathrm{s}. Começando pela posição:
Calcule x(2,0):
x(2,0)=1,0\cdot(2,0)^{2}-2,0\cdot(2,0)=1,0\cdot 4,0-4,0=4,0-4,0=0,0.
Calcule y(2,0):
y(2,0)=2,0-2,0\cdot(2,0)^{3}=2,0-2,0\cdot 8,0=2,0-16,0=-14,0.
Logo
\vec{R}(2,0)=0,0\,\hat{i}-14,0\,\hat{j}.

Passo 5

Velocidade em t=2,0:
Calcule \dot{x}(2,0):
\dot{x}(2,0)=2,0\cdot(2,0)-2,0=4,0-2,0=2,0.
Calcule \dot{y}(2,0):
\dot{y}(2,0)=-6,0\cdot(2,0)^{2}=-6,0\cdot 4,0=-24,0.
Portanto
\vec{V}(2,0)=2,0\,\hat{i}-24,0\,\hat{j}.

Passo 6

Aceleração em t=2,0:
Calcule \ddot{x}(2,0):
\ddot{x}(2,0)=2,0.
Calcule \ddot{y}(2,0):
\ddot{y}(2,0)=-12,0\cdot(2,0)=-24,0.
Assim
\vec{A}(2,0)=2,0\,\hat{i}-24,0\,\hat{j}.

Passo 7

Ângulo entre o semi-eixo positivo X e a reta tangente em t=2,0:
A direção da tangente é dada por \vec{V}(2,0)=(2,0,\,-24,0). Usamos
\theta=\arctan\!\left(\frac{\dot{y}}{\dot{x}}\right)=\arctan\!\left(\frac{-24,0}{2,0}\right)=\arctan(-12).
Verificação de quadrante: \dot{x}=2,0>0 e \dot{y}=-24,0<0, então o vetor está no quarto quadrante e o valor de \arctan(-12) (negativo) já representa corretamente o ângulo medido a partir do eixo +X no sentido anti-horário (ou seja, um ângulo abaixo do eixo x).
Cálculo numérico aproximado:
\theta=\arctan(-12)\approx -1,4877\\ \mathrm{rad}\approx -85,2^\circ.
Se preferir o ângulo positivo medido de 0^\circ a 360^\circ, equivalem:
\theta\approx 274,8^\circ.

Resposta

(a) \vec{R}(2,0\,\mathrm{s})=0,0\,\hat{i}-14,0\,\hat{j}
(b) \vec{V}(2,0\,\mathrm{s})=2,0\,\hat{i}-24,0\,\hat{j}
(c) \vec{A}(2,0\,\mathrm{s})=2,0\,\hat{i}-24,0\,\hat{j}
(d) \theta\approx -85,2^\circ (equivalente a 274,8^\circ; em radianos \theta\approx -1,4877\\ \mathrm{rad})

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