A posição de uma partícula que se move em um plano XY é dada por
, com R em metros e t em segundos. Calcule, na notação dos vetores unitários, (a)
, (b)
e (c)
para
. (d) Qual é o ângulo entre o semi-eixo positivo X e uma reta tangente à trajetória da partícula em
?
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula como
com
em metros e
em segundos. Ele pede:
(a) o vetor posição
em
;
(b) o vetor velocidade em
;
(c) o vetor aceleração em
;
(d) o ângulo entre o semi-eixo positivo e a reta tangente à trajetória em
.
(b) o vetor velocidade
(c) o vetor aceleração
(d) o ângulo entre o semi-eixo positivo
Informações relevantes que temos explicitamente: as componentes são
e o tempo onde devemos avaliar é
.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma simples):
-
O vetor posição
tem componentes e . Para avaliar em um tempo, basta calcular e nesse tempo. -
Velocidade
é a derivada temporal do vetor posição:
Isto significa: derivamos cada componente em relação a
.
- Aceleração
é a derivada temporal da velocidade (segunda derivada da posição):
-
Regra prática para derivar potências: se temos
então . Ex.: . A derivada de uma constante é zero. -
O vetor velocidade aponta na direção da reta tangente à trajetória. O ângulo
entre o eixo e essa reta tangente (medido no sentido anti-horário) satisfaz, quando ,
Se
o valor de
já dá o ângulo correto (pode ser negativo se estiver abaixo do eixo
); se
é preciso ajustar o quadrante (mas aqui verificaremos os sinais antes).
Passo 3
Escrevendo novamente as componentes e aplicando as regras de derivação:
Derivando:
Segunda derivada:
Derivando:
Segunda derivada:
Passo 4
Agora avaliamos em
. Começando pela posição:
Calcule
:
Calcule
:
Logo
Passo 5
Velocidade em
:
Calcule
:
Calcule
:
Portanto
Passo 6
Aceleração em
:
Calcule
:
Calcule
:
Assim
Passo 7
Ângulo entre o semi-eixo positivo
e a reta tangente em
:
A direção da tangente é dada por
. Usamos
Verificação de quadrante:
e
, então o vetor está no quarto quadrante e o valor de
(negativo) já representa corretamente o ângulo medido a partir do eixo
no sentido anti-horário (ou seja, um ângulo abaixo do eixo
).
Cálculo numérico aproximado:
Se preferir o ângulo positivo medido de
a
, equivalem:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) (equivalente a
; em radianos
)
(b)
(c)
(d)