Complete os seguintes conjuntos para que sejam base dos respectivos espaços:
de

Passo 1

O enunciado pede para completar o conjunto {(1,1)} de R^2 de modo que vire uma base. O tema aqui é base de um espaço vetorial: um conjunto de vetores linearmente independentes que gera todo o espaço.

Passo 2

Para ter uma base em R^2 precisamos de 2 vetores e eles não podem ser múltiplos um do outro (independência linear). Já temos (1,1), então falta escolher um vetor v2 que não seja colinear com (1,1).

Passo 3

Escolhemos o vetor (1,-1). Se existisse lambda tal que (1,-1)=lambda(1,1), teríamos 1=lambda e -1=lambda, o que é impossível. Logo, (1,1) e (1,-1) são linearmente independentes.

Passo 4

Para mostrar que esses dois vetores geram R^2, escrevemos um vetor arbitrário (x,y) como combinação linear:
(x,y)=alpha(1,1)+beta(1,-1)=l(alpha+beta,,alpha-betar)

Passo 5

Resolvendo o sistema alpha+beta=x e alpha-beta=y obtém-se alpha=(x+y)/2 e beta=(x-y)/2, logo qualquer (x,y) é alcançado. Assim temos geração e independência, portanto uma base.

Resposta

{(1,1),(1,-1)}

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