Complete os seguintes conjuntos para que sejam base dos respectivos espaços:
de
Passo 1
O enunciado pede para completar o conjunto {(1,1)} de
de modo que vire uma base. O tema aqui é base de um espaço vetorial: um conjunto de vetores linearmente independentes que gera todo o espaço.
Passo 2
Para ter uma base em
precisamos de 2 vetores e eles não podem ser múltiplos um do outro (independência linear). Já temos
, então falta escolher um vetor
que não seja colinear com
.
Passo 3
Escolhemos o vetor
. Se existisse
tal que
, teríamos
e
, o que é impossível. Logo,
e
são linearmente independentes.
Passo 4
Para mostrar que esses dois vetores geram
, escrevemos um vetor arbitrário
como combinação linear:
Passo 5
Resolvendo o sistema
e
obtém-se
e
, logo qualquer
é alcançado. Assim temos geração e independência, portanto uma base.
Resposta
{(1,1),(1,-1)}